专题三三角函数与解三角形必考点一三角恒等变换与求值[高考预测]——运筹帷幄1．三角函数定义、诱导公式与和差倍半角公式结合进行三角恒等变换、求三角函数值．2．结合简单的三角函数图象，求三角函数值或角度．[速解必备]——决胜千里1．诱导公式都可写为sin或cos的形式．根据k的奇偶性：“奇变偶不变(函数名)，符号看象限”．2．公式的变形与应用(1)两角和与差的正切公式的变形tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)．(2)升幂公式1＋cosα＝2cos2；1－cosα＝2sin2.(3)降幂公式sin2α＝；cos2α＝.(4)其他常用变形sin2α＝＝；cos2α＝＝；1±sinα＝2；tan＝＝.3．角的拆分与组合(1)已知角表示未知角例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，α＝－＝＋.(2)互余与互补关系例如，＋＝π，＋＝.(3)非特殊角转化为特殊角例如，15°＝45°－30°，75°＝45°＋30°.[速解方略]——不拘一格类型一三角函数概念，同角关系及诱导公式[例1](1)(2016·高考全国乙卷)已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________.解析：基本法：将θ－转化为－.由题意知sin＝，θ是第四象限角，所以cos>0，所以cos＝＝.tan＝tan＝－＝－＝－＝－.答案：－速解法：由题意知θ＋为第一象限角，设θ＋＝α，∴θ＝α－，∴tan＝tan＝－tan.如图，不妨设在Rt△ACB中，∠A＝α，由sinα＝可得，BC＝3，AB＝5，AC＝4，∴∠B＝－α，∴tanB＝，∴tanB＝－.答案：－(2)若tanα＞0，则()A．sinα＞0B．cosα＞0C．sin2α＞0D．cos2α＞0解析：基本法：由tanα＞0得α是第一或第三象限角，若α是第三象限角，则A，B错；由sin2α＝2sinαcosα知sin2α＞0，C正确；α取时，cos2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝－＜0，D错．故选C.速解法： tanα＝＞0，即sinαcosα＞0，∴sin2α＝2sinαcosα＞0，故选C.答案：C方略点评：1基本法根据α的可能象限判断符号.,速解法是根据tanα及sin2α的公式特征判断符号，更简单.2知弦求弦.利用诱导公式及平方关系sin2α＋cos2α＝1求解.3知弦求切.常通过平方关系、对称式sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα建立联系，注意tanα＝的灵活应用.4知切求弦.通常先利用商数关系转化为sinα＝tanα·cosα的形式，然后利用平方关系求解.1．(2016·河北唐山模拟)已知2sin2α＝1＋cos2α，则tan2α＝()A．－B.C．－或0D.或0解析：基本法： ，∴或∴tan2α＝0或tan2α＝.答案：D2．已知sinα＋2cosα＝0，则2sinαcosα－cos2α的值是________．解析：基本法：由sinα＋2cosα＝0得tanα＝－2.∴2sinαcosα－cos2α＝＝＝＝＝－1.答案：－1类型二三角函数的求值与化简[例2](1)sin20°cos10°－cos160°sin10°＝()A．－B.C．－D.解析：基本法：原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝sin30°＝，故选D.速解法：从题目形式上看应是sin(α＋β)公式的展开式．又 20°＋10°＝30°，故猜想为sin30°＝.答案：D方略点评：基本法是构造sinα＋β的形式，再逆用公式.速解法是根据三角函数的特征猜想，大胆猜想也是一种方法.(2)设α∈，β∈，且tanα＝，则()A．3α－β＝B．3α＋β＝C．2α－β＝D．2α＋β＝解析：基本法：由tanα＝得＝，即sinαcosβ＝cosα＋sinβcosα，所以sin(α－β)＝cosα，又cosα＝sin，所以sin(α－β)＝sin，又因为α∈，β∈，所以－＜α－β＜，0＜－α＜，因为α－β＝－α，所以2α－β＝，故选C.速解法一： tan＝，由tanα＝知，α、β应为2倍角关系，A、B项中有3α，不合题意，C项中有2α－β＝.把β＝2α－代入＝＝＝tanα，题设成立．故选C.速解法二：＝＝tan∴tanα＝tan又 α∈，β∈，∴∈，∴＋∈，∴α＝＋，∴2α＝＋β，∴2α－β＝.故选C.答案：C方略点评：1基本法是切化弦，利用正弦等式寻找角的关系.速解法都是利用tan的公式及特征，代入验证或者转化正切等式.2已知值求角时，注意角的范围，要尽量使范围“小”一点.1．若tanα＝2tan，则＝()A．1B．2C．3D．4解析：基本法：＝＝＝＝， t...
