第三节二项式定理[考情展望]1.考查利用通项求展开式中的特定项、特定项的系数、二项式系数等.2.考查赋值法与整体法的应用.3.多以选择题、填空题的形式考查．一、二项式定理1．(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)．2．第r＋1项，Tr＋1＝Can－rbr.3．第r＋1项的二项式系数为C.二、二项式系数的性质1．0≤k≤n时，C与C的关系是C＝C.2．二项式系数先增后减中间项最大且n为偶数时第＋1项的二项式系数最大，最大值为Cn；当n为奇数时，第项和项的二项式系数最大，最大值为Cn或Cn.3．各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n，C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.1．(1＋x)6的展开式中，二项式系数最大的项是()A．20x3B．15x2C．15x4D．x6【解析】二项展开式中间一项(第4项)的二项式系数最大，∴T4＝Cx3＝20x3.【答案】A2.4的展开式中的常数项为()A．－24B．－6C．6D．24【解析】展开式的通项是Tr＋1＝C(2x)4－r·r＝(－1)rC·24－r·x4－2r，令4－2r＝0，得r＝2，∴展开式中的常数项为(－1)2C·22＝24，故选D.【答案】D3．已知(1＋kx2)6(k为正整数)的展开式中x8的系数小于120，则k＝________.【解析】展开式的通项是Tr＋1＝C(kx2)r，令2r＝8，得展开式中x8的系数为C·k4，∴C·k4＜120，即k4＜8.又k是正整数，故k＝1.【答案】14．(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n＝________.【解析】Tr＋1＝C(3x)r＝3rCxr.由已知条件35C＝36C，即C＝3C.＝3，整理得n＝7.【答案】75．(2013·大纲全国卷)(x＋2)8的展开式中x6的系数是()A．28B．56C．112D．224【解析】该二项展开式的通项为Tr＋1＝Cx8－r2r＝2rCx8－r，令r＝2，得T3＝22Cx6＝112x6，所以x6的系数是112.【答案】C6．(2013·安徽高考)若8的展开式中，x4的系数为7，则实数a＝________.【解析】含x4的项为Cx53＝Ca3x4，∴Ca3＝7，∴a＝.【答案】考向一[178]通项公式及其应用已知在n的展开式中，第6项为常数项．(1)求含x2的项的系数；(2)求展开式中所有的有理项．【思路点拨】(1)写出通项Tr＋1，先求n，再求含x2的项的系数．(2)寻找使x的指数为整数的r值，从而确定有理项．【尝试解答】(1)n的展开式的通项为Tr＋1＝Cxrx－＝Crx.因为第6项为常数项，所以r＝5时，有＝0，即n＝10.令＝2，得r＝(n－6)＝×(10－6)＝2，∴含x2的项的系数为C2＝.(2)根据通项公式，由题意∈Z，且0≤r≤10.令＝k(k∈Z)，则10－2r＝3k，即r＝5－k. r∈N，∴k应为偶数．∴k可取2,0，－2，即r可取2,5,8.所以第3项，第6项和第9项为有理项，它们分别为C2x2，C5，C8x－2.规律方法11.解此类问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件特定项和通项公式，建立方程来确定指数求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.2.有理项是字母指数为整数的项.解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为整数，再根据数的整除性来求解.对点训练(1)(2013·浙江高考)设二项式5的展开式中常数项为A，则A＝________.(2)设二项式6(a＞0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B＝4A，则a的值是________．【解析】(1)Tr＋1＝C()5－rr＝C(－1)rx－，令－＝0，得r＝3，所以A＝－C＝－10.(2)6展开式的通项Tr＋1＝(－a)rCx6－r，∴A＝(－a)2C，B＝(－a)4C，由B＝4A，得(－a)4C＝4(－a)2C，解之得a＝±2.又a＞0，所以a＝2.【答案】(1)－10(2)2考向二[179]二项展开式项的系数与二项式系数(1)设(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a1＋a2＋…＋an＝63，则展开式中系数最大的项是()A．15x2B．20x3C．21x3D．35x3(2)(2013·课标全国卷Ⅱ)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝()A．－4B．－3C．－2D．－1【思路点拨】(1)先赋值求a0及各项系数和，进而求得n值，再运用二项式系数性质与通项公式求解．(2)先求出(1＋x)5含有x与x2的项的系数，从而得到展开式中x2的系数．【尝试解答】(1) (1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令x＝0，得a0＝1.令x＝1，则(1＋1)n＝a0＋a1＋a2＋…＋an＝64，∴n＝6，又(1＋x)6的展开式二项式系数最大项的系数最大，∴(1＋x...
