课时跟踪训练(七)空间向量的标准正交分解与坐标表示空间向量基本定理1．在以下三个命题中，真命题的个数是()①三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；②若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线；③若a，b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则a，b，c构成空间的一个基底．A．0个B．1个C．2个D．3个2.如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′中，E是平面A′B′C′D′的中心，a＝AA�，b＝AB�，c＝AD�，AE�＝xa＋yb＋zc，则()A．x＝2，y＝1，z＝B．x＝2，y＝，z＝C．x＝，y＝，z＝1D．x＝，y＝，z＝3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为1，则1AB�在1CB�上的投影为()A．－B.C．－D.4.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是面BB1C1C的中心，且1AA�＝a，AB�＝b，1AC�＝c，则1AB�＝()A.a＋b＋cB.a－b＋cC.a＋b－cD．－a＋b＋c5.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，CC1＝1，则1AC�在BA�上的投影是________．6．在三棱锥O－ABC中，OA�＝a，OB�＝b，OC�＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE�＝________(用a，b，c表示)．7.已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为1的正方体，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出A，B，C，D，A1，B1，C1，D1各点的坐标，并写出DA�，DB�，DC�，1DC�，1DD�，1DA�，1DB�的坐标表示．18.如右图，已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，G为△PDC的重心，AB�＝i，AD�＝j，AP�＝k，试用基底i，j，k表示向量PG�，BG�.答案1．选C③中向量a，b，c共面，故a，b，c不能构成空间向量的一个基底，①②均正确．2．选AAE�＝AA�＋AE�＝AA�＋(AB�＋AD�)＝2a＋b＋c.3．选B∵正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，∴|1AB�|＝，|AC�|＝，|1BC�|＝.∴△AB1C是等边三角形．∴1AB�在1CB�上的投影为|1AB�|cos〈1AB�，1CB�〉＝×cos60°＝.4．选D1AD�＝11AC�＋1CD�＝AC�＋(1CC�＋11CB�)＝c＋(－1AA�＋CA�＋AB�)＝c－a＋(－c)＋b＝－a＋b＋c.5．解析：1AC�在BA�上的投影为|1AC�|cos〈1AC�，BA�〉，在△ABC1中，cos∠BAC1＝＝＝＝，又|1AC�|＝.∴|1AC�|cos〈1AC�·BA�〉＝×＝－2.答案：－226．解析：如图，OE�＝OA�＋AE�＝OA�＋AD�＝OA�＋(AB�＋AC�)＝OA�＋(OB�－OA�＋OC�－OA�)．＝OA�＋OB�＋OC�＝a＋b＋c.答案：a＋b＋c7．解：∵正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，∴A(1,0,0),B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，C1(0,1,1)，D1(0,0,1)．∴DA�＝(1,0,0)，DB�＝(1,1,0)，DC�＝(0,1,0)，1DC�＝(0,1,1)，1DD�＝(0,0,1)，1DA�＝(1,0,1)，1DB�＝(1,1,1)．8．解：∵G是△PDC的重心，∴PG�＝PN�＝(PD�＋PC�)＝(PA�＋AD�＋PA�＋AB�＋BC�)＝(－k＋j－k＋i＋j)＝i＋j－k，BG�＝BA�＋AP�＋PG�＝－i＋k＋i＋j－k＝－i＋j＋k.3
