第6节离散型随机变量的分布列及均值和方差【选题明细表】知识点、方法题号离散型随机变量的分布列及其性质1,2,4,7,10离散型随机变量的均值、方差6,8,9,11,12超几何分布3,5,13基础巩固(时间:30分钟)1.(2017·茂名市二模)若离散型随机变量X的分布列为X01P则X的数学期望E(X)等于(C)(A)2(B)2或(C)(D)1解析:由题意,+=1,a>0,所以a=1,所以E(X)=0×+1×=.故选C.2.(2017·南宁市二模)设随机变量X的概率分布表如图,则P(|X-2|=1)等于(C)X1234Pm(A)(B)(C)(D)解析:m=,P(|X-2|=1)=+=.故选C.3.有10张卡片,其中8张标有数字2,2张标有数字5,从中任意抽出3张卡片,设3张卡片上的数字之和为X,则X≥8的概率是(C)(A)(B)(C)(D)解析:X的取值为6,9,12,X≥8时,P(X=9)==,P(X=12)==,所以X≥8的概率为+=.故选C.4.设随机变量ξ的分布列为P(ξ=)=ak(k=1,2,3,4,5),则P(<ξ<)等于(C)(A)(B)(C)(D)解析:由已知,分布列为ξ12345Pa2a3a4a5a由分布列的性质可得a+2a+3a+4a+5a=1,解得a=.所以P(<ξ<)=P(ξ=)+P(ξ=)+P(ξ=)=++=.故选C.5.一个袋中有4个红球,3个黑球,小明从袋中随机取球,设取到一个红球得2分,取到一个黑球得1分,从袋中任取4个球,则小明得分大于6分的概率是(A)(A)(B)(C)(D)解析:记得分为X,则X=5,6,7,8.P(X=7)==;P(X=8)==.所以P(X>6)=P(X=7)+P(X=8)=+=.6.(2017·合肥市二模)已知5件产品中有2件次品,现逐一检测,直至能确定所有次品为止,记检测的次数为ξ,则E(ξ)等于(C)(A)3(B)(C)(D)4解析:由题意知ξ的可能取值为2,3,4,P(ξ=2)=×=,P(ξ=3)=(×+×)×=,P(ξ=4)=1-P(ξ=2)-P(ξ=3)=1--=,所以E(ξ)=2×+3×+4×=.故选C.7.设随机变量ξ等可能取1,2,3,…,n,若P(ξ<4)=0.3,则n=.解析:因为1,2,3,…,n每个值被取到的概率为,所以P(ξ<4)=P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)=++=0.3,所以n=10.答案:108.某公司有5万元资金用于投资开发项目,如果成功,一年后可获利12%;如果失败,一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果:投资成功投资失败192例8例则该公司一年后估计可获收益的期望是元.解析:由题意知,一年后获利6000元的概率为0.96,获利-25000元的概率为0.04,故一年后收益的期望是6000×0.96+(-25000)×0.04=4760(元).答案:4760能力提升(时间:15分钟)9.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴在y轴的左侧,其中a,b,c∈{-3,-2,-1,0,1,2,3},在这些抛物线中,记随机变量ξ=|a-b|,则E(ξ)为(A)(A)(B)(C)(D)解析:因为抛物线的对称轴在y轴的左侧,所以-<0,即>0,即a,b同号.所以随机变量ξ的分布列为ξ012P所以E(ξ)=0×+1×+2×=.故选A.10.(2017·临汾联考)口袋中有5只球,编号为1,2,3,4,5,从中任意取3只球,以X表示取出的球的最大号码,则X的分布列为.解析:X的取值为3,4,5.又P(X=3)==,P(X=4)==,P(X=5)==.所以随机变量X的分布列为X345P0.10.30.6答案:X345P0.10.30.611.(2017·黔东南州一模)从某校高三上学期期末数学考试成绩中,随机抽取了60名学生的成绩得到如图所示的频率分布直方图:(1)根据频率分布直方图,估计该校高三学生本次数学考试的平均分;(2)若用分层抽样的方法从分数在[30,50)和[130,150]的学生中抽取6人,该6人中成绩在[130,150]的有几人?(3)在(2)抽取的6人中,随机抽取3人,设分数在[130,150]内的人数为ξ,求其数学期望E(ξ).解:(1)由频率分布直方图,得该校高三学生本次数学考试的平均分为0.0050×20×40+0.0075×20×60+0.0075×20×80+0.0150×20×100+0.0125×20×120+0.0025×20×140=92.(2)样本中分数在[30,50)和[130,150]的人数分别为6人和3人,所以抽取的6人中分数在[130,150]的人有6×=2(人).(3)由(2)知:抽取的6人中分数在[130,150]的有2人,依题意ξ的所有取值为0,1,2,当ξ=0时,P(ξ=0)==;当ξ=1时,P(ξ=1)==;当ξ=2时,P(ξ=2)==;所以E(ξ)=0×+1×+2×=1.12.(2016·湖南郴州第四次质检)中学阶段是学生身体发育最重要的阶段,长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康,某校为了解甲、乙两班每周自我熬夜学习的总时长(单位:小时),分别从这两个班中随机抽取6名同学进行调查,将他们最近一周自我熬夜学习的总时长作为样本数据,绘制成茎叶图如图所示(图中的茎表示十位数字,叶表示个位数字),如果学生平均每周自我熬夜学习...
