(一)三角函数与平面向量1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知向量m＝(cosB，cosC)，n＝(4a－b，c)，且m∥n.(1)求cosC的值；(2)若c＝，△ABC的面积S＝，求a，b的值．解(1)∵m∥n，∴ccosB＝(4a－b)cosC，由正弦定理，得sinCcosB＝(4sinA－sinB)cosC，化简，得sin(B＋C)＝4sinAcosC.∵A＋B＋C＝π，∴sinA＝sin(B＋C)．又∵A∈(0，π)，∴sinA>0，∴cosC＝.(2)∵C∈(0，π)，cosC＝，∴sinC＝＝＝.∵S＝absinC＝，∴ab＝2.①∵c＝，由余弦定理得3＝a2＋b2－ab，∴a2＋b2＝4，②由①②，得a4－4a2＋4＝0，从而a2＝2，a＝±(舍负)，∴b＝，∴a＝b＝.2．(2016·山东)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2(tanA＋tanB)＝＋.(1)证明：a＋b＝2c；(2)求cosC的最小值．(1)证明由题意知2＝＋，化简得2(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinA＋sinB，即2sin(A＋B)＝sinA＋sinB，因为A＋B＋C＝π，所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，从而sinA＋sinB＝2sinC，由正弦定理得a＋b＝2c.(2)解由(1)知c＝，所以cosC＝＝＝－≥，当且仅当a＝b时，等号成立，故cosC的最小值为.3．(2016·北京)在△ABC中，a2＋c2＝b2＋ac.(1)求角B的大小；(2)求cosA＋cosC的最大值．解(1)由a2＋c2＝b2＋ac得，a2＋c2－b2＝ac.由余弦定理得，cosB＝＝＝.又0＜B＜π，所以B＝.(2)A＋C＝π－B＝π－＝，所以C＝－A,0＜A＜.所以cosA＋cosC＝cosA＋cos＝cosA＋coscosA＋sinsinA＝cosA－cosA＋sinA＝sinA＋cosA＝sin.因为0＜A＜，所以＜A＋＜π，故当A＋＝，即A＝时，cosA＋cosC取得最大值1.4．(2016·天津)已知函数f(x)＝4tanxsin·cos－.(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f(x)在区间上的单调性．解(1)f(x)的定义域为{x|x≠＋kπ，k∈Z}．f(x)＝4tanxcosxcos－＝4sinxcos－＝4sinx－＝2sinxcosx＋2sin2x－＝sin2x＋(1－cos2x)－＝sin2x－cos2x＝2sin.所以f(x)的最小正周期T＝＝π.(2)令z＝2x－，则函数y＝2sinz的单调递增区间是，k∈Z.由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.设A＝，B＝{x|－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z}，易知A∩B＝.所以当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＋c2＝b2－ac.(1)求B的大小；(2)设∠BAC的平分线AD交BC于D,AD＝2，BD＝1，求cosC的值．解(1)因为a2＋c2＝b2－ac，所以cosB＝＝－＝－，因为B∈(0，π)，所以B＝π.(2)在△ABD中，由正弦定理得：＝，所以sin∠BAD＝＝＝，所以cos∠BAC＝cos2∠BAD＝1－2sin2∠BAD＝1－2×＝.所以sin∠BAC＝＝＝.所以cosC＝cos(－∠BAC)＝coscos∠BAC＋sinsin∠BAC＝×＋×＝，即cosC的值为.
