3.1导数的概念及运算A组专项基础训练(时间：35分钟)1．(2017·温州月考)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋lnx，则f′(1)等于()A．－eB．－1C．1D．e【解析】由f(x)＝2xf′(1)＋lnx，得f′(x)＝2f′(1)＋.∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.【答案】B2．(2017·雅安模拟)设曲线y＝ex＋ax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直，则实数a＝()A．3B．1C．2D．0【解析】 与直线x＋2y－1＝0垂直的直线斜率为2，∴f′(0)＝e0＋a＝2，解得a＝2.【答案】C3．已知f1(x)＝sinx＋cosx，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2016(x)等于()A．－sinx－cosxB．sinx－cosxC．－sinx＋cosxD．sinx＋cosx【解析】 f1(x)＝sinx＋cosx，∴f2(x)＝f1′(x)＝cosx－sinx，∴f3(x)＝f2′(x)＝－sinx－cosx，∴f4(x)＝f3′(x)＝－cosx＋sinx，∴f5(x)＝f4′(x)＝sinx＋cosx＝f1(x)，∴fn(x)是以4为周期的函数，∴f2016(x)＝f4(x)＝sinx－cosx，故选B.【答案】B4．(2017·北京东城期中)曲线f(x)＝在点(1，f(1))处的切线方程是()A．x＝1B．y＝C．x＋y＝1D．x－y＝1【解析】f(x)＝的导数为f′(x)＝，因此曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为k＝f′(1)＝0，切点坐标为，因此曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝.故选B.【答案】B5．(2017·南昌二中模拟)设点P是曲线y＝x3－x＋上的任意一点，P点处切线倾斜角α的取值范围为()A.∪B.C.∪D.【解析】因为y′＝3x2－≥－，故切线斜率k≥－，所以切线倾斜角α的取值范围是∪.【答案】C6．(2017·陕西西安地区八校第三次联考)函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是()A．0＜f′(2)＜f′(3)＜f(3)－f(2)B．0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2)C．0＜f′(3)＜f′(2)＜f(3)－f(2)D．0＜f(3)－f(2)＜f′(2)＜f′(3)【解析】观察题中图象可知，该函数在(2，3)上为连续可导的增函数，且增长得越来越慢．所以各点处的导数在(2，3)上处处为正，且导数的值逐渐减小，所以f′(2)＞f′(3)．而f(3)－f(2)＝表示连接点(2，f(2))与点(3，f(3))割线的斜率，根据导数的几何意义，一定可以在(2，3)之间找到一点，该点处的切线与割线平行，则割线的斜率就是该点处的切线的斜率，即该点处的导数，则必有0＜f′(3)＜＜f′(2)．故选B.【答案】B7．(2015·课标Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2，7)，则a＝________．【解析】由题意可得f′(x)＝3ax2＋1，∴f′(1)＝3a＋1，又f(1)＝a＋2，∴f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)，又此切线过点(2，7)，∴7－(a＋2)＝(3a＋1)(2－1)，解得a＝1.【答案】18．(2017·江西南昌十所省重点中学二模)设a为实数，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数为f′(x)，且f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为________．【解析】 f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x，∴f′(x)＝3x2＋2ax＋(a－3)． f′(x)是偶函数，∴3(－x)2＋2a(－x)＋(a－3)＝3x2＋2ax＋(a－3)，解得a＝0，∴f(x)＝x3－3x，f′(x)＝3x2－3.则f(2)＝2，f′(2)＝9，即切点为(2，2)，切线的斜率为9，∴曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－2＝9(x－2)，即9x－y－16＝0.【答案】9x－y－16＝09．(2017·长沙模拟)已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．【解析】(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上． f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.∴切线的方程为y＋6＝13(x－2)，即y＝13x－32.(2)设切点坐标为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1，y0＝x＋x0－16，∴直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16.又 直线l过原点(0，0)，∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，整理得，x＝－8，∴x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，得切点坐标(－2，－26)，k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．10．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(...
