第3讲导数的简单应用一、选择题1．(一题多解)(2019·河北省九校第二次联考)函数y＝x＋＋2lnx的单调递减区间是()A．(－3，1)B．(0，1)C．(－1，3)D．(0，3)解析：选B.法一：令y′＝1－＋<0，得－30，故所求函数的单调递减区间为(0，1)．故选B.法二：由题意知x>0，故排除A、C选项；又f(1)＝40或x<－2时，f′(x)>0，f(x)是增函数；当－22，所以m≤2.故选C.5．如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y＝f(x)在区间内单调递增；②函数y＝f(x)在区间内单调递减；③函数y＝f(x)在区间(4，5)内单调递增；④当x＝2时，函数y＝f(x)有极小值；⑤当x＝－时，函数y＝f(x)有极大值．则上述判断中正确的是()A．①②B．②③C．③④⑤D．③解析：选D.当x∈(－3，－2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，①错；当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(2，3)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，②错；当x＝2时，函数y＝f(x)有极大值，④错；当x＝－时，函数y＝f(x)无极值，⑤错．故选D.6．(2019·郑州市第二次质量预测)函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的可导函数，f′(x)为其导函数，若xf′(x)＋f(x)＝ex(x－2)且f(3)＝0，则不等式f(x)<0的解集为()A．(0，2)B．(0，3)C．(2，3)D．(3，＋∞)解析：选B.令g(x)＝xf(x)，x∈(0，＋∞)，则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)＝ex(x－2)，可知当x∈(0，2)时，g(x)＝xf(x)是减函数，当x∈(2，＋∞)时，g(x)＝xf(x)是增函数．又f(3)＝0，所以g(3)＝3f(3)＝0.在(0，＋∞)上，不等式f(x)<0的解集就是xf(x)<0的解集，又g(0)＝0，所以f(x)<0的解集是(0，3)，故选B.二、填空题7．(2019·广州市综合检测(一))若函数f(x)＝ax－的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2，4)，则a＝________．解析：f′(x)＝a＋，f′(1)＝a＋3，f(1)＝a－3，故f(x)的图象在点(1，a－3)处的切线方程为y－(a－3)＝(a＋3)(x－1)，又切线过点(2，4)，所以4－(a－3)＝a＋3，解得a＝2.答案：28．设定义在R上的函数y＝f(x)的导函数为f′(x)．如果存在x0∈[a，b]，使得f(b)－f(a)＝f′(x0)(b－a)成立，则称x0为函数f(x)在区间[a，b]上的“中值点”．那么函数f(x)＝x3－3x在区间[－2，2]上的“中值点”为________．解析：由f(x)＝x3－3x求导可得f′(x)＝3x2－3，设x0为函数f(x)在区间[－2，2]上的“中值点”，则f′(x0)＝＝1，即3x－3＝1，解得x0＝±.答案：±9．已知函数f(x)＝－x2＋2lnx，g(x)＝x＋，若函数f(x)与g(x)有相同的极值点，则实数a的值为________．解析：因为f(x)＝－x2＋2lnx，所以f′(x)＝－2x＋＝－(x>0)，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1(舍去)，又当00；当x>1时，f′(x)<0，所以x＝1是函数f(x)的极值点．因为g(x)＝x＋，所以g′(x)＝1－.又函数f(x)与g(x)＝x＋有相同极值点，所以x＝1也是函数g(x)的极值点，所以g′(1)＝1－a＝0，解得a＝1.经检验，当a＝1时，函数g(x)取到极小值．答案：1三、解答题10．已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y...
