选修1-1第二章2.32.3.2一、选择题1．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点且垂直于x轴的弦为AB，O为抛物线顶点，则∠AOB的大小()A．小于90°B．等于90°C．大于90°D．不能确定[答案]C[解析]过抛物线焦点且垂直于x轴的弦AB为通径，其长度为2p，又顶点到通径的距离为，由三角函数知识可知，∠AOB大于90°.2．若AB为抛物线y2＝4x的弦，且A(x1,4)、B(x2,2)，则|AB|＝()A．13B．C．6D．4[答案]B[解析]代入点A，B可得x1＝4，x2＝1，由两点间距离公式得|AB|＝.3．若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为()A．(，±)B．(，±)C．(，)D．(，)[答案]B[解析]设焦点为F，原点为O，P(x0，y0)，由条件及抛物线的定义知，|PF|＝|PO|，又F(，0)，∴x0＝，∴y＝，∴y0＝±，故选B．4．已知P(8，a)在抛物线y2＝4px上，且P到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为()A．2B．4C．8D．16[答案]B[解析]根据题意可知，P点到准线的距离为8＋p＝10，可得p＝2，所以焦点到准线的距离为2p＝4，选B．5．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为()1A．B．1C．D．[答案]C[解析]设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由|AF|＋|BF|＝3得，x1＋x2＋＝3，∴x1＋x2＝，∴线段AB的中点到y轴的距离为＝.6．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A、B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p＝()A．1B．C．2D．3[答案]C[解析]本题考查了双曲线、抛物线的几何性质与三角形面积． ＝2，∴b2＝3a2，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，不妨设A(－，)，B(－，－)，则AB＝p，又三角形的高为，则S△AOB＝××p＝，即p2＝4，又p>0，∴p＝2.二、填空题7．过点M(3,2)作直线l与抛物线y2＝8x只有一个交点，这样的直线共有________条.[答案]1[解析] 点M(3,2)在抛物线内部，∴过点M平行于x轴的直线y＝2与抛物线y2＝8x只有一个交点．8．若抛物线y2＝－2px(p>0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为________.[答案](－9，－6)或(－9,6)[解析]由抛物线方程y2＝－2px(p>0)，得其焦点坐标为F，准线方程为x＝，设点M到准线的距离为d，则d＝|MF|＝10，即－(－9)＝10，∴p＝2，故抛物线方程为y2＝－4x.将M(－9，y)代入抛物线方程，得y＝±6，∴M(－9,6)或M(－9，－6)．9．已知F是抛物线y2＝4x的焦点，过点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，设|FA|>|FB|，则＝________.[答案]3＋2[解析]抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，过F斜率为1的直线方程为y＝x－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，消去y得x2－6x＋1＝0，求得x1＝3＋2，x2＝3－2，2故由抛物线的定义可得＝＝3＋2.三、解答题10．(2016·山东聊城高二检测)抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的标准方程.[解析]如图，依题意可设抛物线标准方程为y2＝2px(p>0)，则直线方程为y＝－x＋p.设直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)，过A、B分别作准线的垂线，垂足为C、D，则由抛物线定义得|AB|＝|AF|＋|FB|＝|AC|＋|BD|＝x1＋＋x2＋，即x1＋x2＋p＝8.①又A(x1，y1)、B(x2，y2)是直线和抛物线的交点，由，消去y得x2－3px＋＝0.∴x1＋x2＝3p.将其代入①，得p＝2.∴所求的抛物线标准方程为y2＝4x.当抛物线方程设为y2＝－2px(p>0)时，同理可求得抛物线标准方程为y2＝－4x.一、选择题1．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A、B两点，若AB中点的横坐标为2，则k＝()A．2或－2B．－1C．2D．3[答案]C[解析]由，得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，则＝4，即k＝2.2．(2016·山东聊城高二检测)已知点F是抛物线y2＝4x的焦点，M、N是该抛物线上两点，|MF|＋|NF|＝6，则MN中点的横坐标为()A．B．2C．D．33[答案]B[解析]F是抛物线y2＝4x的焦点，F(1,0)，准线方程x＝－1，设M(xM，yM)、N(xN，yN)，∴|MF|＋|NF|＝xM＋1＋xN＋1＝6，解得xM＋xN＝4，∴MN中点的横坐标为＝2.3．等腰Rt△ABO内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△ABO的面积是()A．8p2B．4p2C．2p2D．p2[答案]B[解析]设点A在x轴的上方，则...
