高考数学 空间向量练习1（含解析）-人教版高三全册数学试题VIP免费

天津市南开中学2015届高考数学空间向量练习1（含解析）1.如图，在四棱锥PABCD-中，PA^底面ABCD，ADAB^，//ABDC，2ADDCAP===，1AB=，点E为棱PC的中点.（Ⅰ）证明BEDC^；（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BFAC^，求二面角FABP--的余弦值.解：方法一：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图所示)，可得B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)．C由E为棱PC的中点，得E(1，1，1)．(1)证明：向量BE＝(0，1，1)，DC＝(2，0，0)，故BE·DC＝0，所以BE⊥DC.(2)向量BD＝(－1，2，0)，PB＝(1，0，－2)．设n＝(x，y，z)为平面PBD的法向量，则即不妨令y＝1，可得n＝(2，1，1)为平面PBD的一个法向量．于是有cos〈n，BE〉＝＝＝，所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.(3)向量BC＝(1，2，0)，CP＝(－2，－2，2)，AC＝(2，2，0)，AB＝(1，0，0)．由点F在棱PC上，设CF＝λCP，0≤λ≤1.故BF＝BC＋CF＝BC＋λCP＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．由BF⊥AC，得BF·AC＝0，因此2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝，即BF＝.设n1＝(x，y，z)为平面FAB的法向量，则即不妨令z＝1，可得n1＝(0，－3，1)为平面FAB的一个法向量．取平面ABP的法向量n2＝(0，1，0)，则cos〈，〉＝＝＝－.易知二面角FABP是锐角，所以其余弦值为.方法二：(1)证明：如图所示，取PD中点M，连接EM，AM.由于E，M分别为PC，PD的中点，故EM∥DC，且EM＝DC.又由已知，可得EM∥AB且EM＝AB，故四边形ABEM为平行四边形，所以BE∥AM.因为PA⊥底面ABCD，故PA⊥CD，而CD⊥DA，从而CD⊥平面PAD.因为AM⊂平面PAD，所以CD⊥AM.又BE∥AM，所以BE⊥CD.(2)连接BM，由(1)有CD⊥平面PAD，得CD⊥PD.而EM∥CD，故PD⊥EM.又因为AD＝AP，M为PD的中点，所以PD⊥AM，可得PD⊥BE，所以PD⊥平面BEM，故平面BEM⊥平面PBD，所以直线BE在平面PBD内的射影为直线BM.而1BE⊥EM，可得∠EBM为锐角，故∠EBM为直线BE与平面PBD所成的角．依题意，有PD＝2，而M为PD中点，可得AM＝，进而BE＝.故在直角三角形BEM中，tan∠EBM＝＝＝，因此sin∠EBM＝，所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.(3)如图所示，在△PAC中，过点F作FH∥PA交AC于点H.因为PA⊥底面ABCD，所以FH⊥底面ABCD，从而FH⊥AC.又BF⊥AC，得AC⊥平面FHB，因此AC⊥BH.在底面ABCD内，可得CH＝3HA，从而CF＝3FP.在平面PDC内，作FG∥DC交PD于点G，于是DG＝3GP.由于DC∥AB，故GF∥AB，所以A，B，F，G四点共面．由AB⊥PA，AB⊥AD，得AB⊥平面PAD，故AB⊥AG，所以∠PAG为二面角FABP的平面角．在△PAG中，PA＝2，PG＝PD＝，∠APG＝45°.由余弦定理可得AG＝，cos∠PAG＝，所以二面角FABP的余弦值为.2.如图,四棱柱ABCD－A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB//DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E为棱AA1的中点.(Ⅰ)证明B1C1⊥CE;(Ⅱ)求二面角B1－CE－C1的正弦值.(Ⅲ)设点M在线段C1E上,且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为26,求线段AM的长.（方法一）如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0，0，0),B(0，0，2)，C(1，0，1),B1(0，2，2),C1(1，2，1),E(0，1，0).(Ⅰ)证明：易得11(1,0,1),BC�(1,1,1)CE�,于是110BCCE�，所以11BCCE�.(Ⅱ)解：1(1,2,1)BC�.设平面1BCED法向量(,,)xyzm，则100BCCE��mm，即200xyzxyz，消去x，得20xy，不妨设1z，可得一个法向量为(3,2,1)m.由(Ⅰ)，11BCCE，又111CCBC,可得11BC平面1CEC,故11(1,0,1)BC�为平面1CEC的一个法向量.于是111111427cos7|142BCBCBC���mm,|m||，从而1121sin7BC�m,所以二面角B1－CE－C1的正弦值为217.2(Ⅲ)解：(0,1,0)AE�,1(1,1,1)EC�,设1(,,)EMEC�,01,有(,1,)AMAEEM�.可取(0,0,2)AB�为平面ADD1A1的一个法向量.设为直线AM与平面ADD1A1所成角，则sin|cos,|AMAB�=||||||AMABAMAB��22222(1)2321于是226321，解得13，所以AM=2.(解法二)（Ⅰ）证明：因为侧棱1CC⊥底面1111ABCD，11BC平面1111ABCD.所以11...