11.1.6祖暅原理与几何体的体积关键能力·素养形成类型一旋转体的体积【典例】1.圆台的轴截面等腰梯形的腰长为a,下底边长为2a,对角线长为a,则这个圆台的体积是()A.πa3B.πa3C.πa3D.πa32.盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为5cm,两个直径为5cm的玻璃小球都浸没于水中,若取出这两个小球,则水面将下降多少?世纪【思维·引】1.求圆台的体积可依据圆台的体积公式寻求解题思路,求出圆台的上下底面半径和高即可.2.注意取出的两个小球的体积应该等于圆柱的底面积与水面下降的高度的乘积.【解析】1.选D.由AD=a,AB=2a,BD=a知∠ADB=90°,分别过D点、C点作DH⊥AB,CG⊥AB.知DH=a,所以HB==a,所以DE=HF=a,所以V圆台=·a=πa3.2.设取出小球后,容器中水面下降hcm,两个小球的体积为V球=2×=(cm3),此体积即等于它们在容器中排开水的体积V=π×52×h,所以=π×52×h,所以h=,即若取出这两个小球,则水面将下降cm.【内化·悟】1.求圆柱、圆锥、圆台的体积应该知道哪些量?这些量经常出现在哪个截面中?提示:求圆柱、圆锥、圆台的体积需要知道几何体的高与底面的半径;这些量经常出现在轴截面中.2.求球的体积应该知道哪些量?提示:求球的体积只需要知道球的半径即可.【类题·通】求旋转体的体积的求解技巧一是借助旋转体的轴截面,将空间问题转化为平面问题;二是利用三角形全等、相似等关系求出所需的量;三是利用体积公式求体积.【习练·破】如图,在四面体ABCD中,截面AEF经过四面体的内切球(与四个面都相切的球)球心O,且与BC,DC分别截于E,F,如果截面将四面体分成体积相等的两部分,设四棱锥A-BEFD与三棱锥A-EFC的表面积分别是S1、S2,则必有()A.S1S2C.S1=S2D.S1,S2的大小关系不能确定【解析】选C.连接OA,OB,OC,OD,OE,OF,则VA-BEFD=VO-ABD+VO-ABE+VO-BEFD+VO-ADF,VA-EFC=VO-AFC+VO-AEC+VO-EFC.又VA-BEFD=VA-EFC,而构成四棱锥A-BEFD和三棱锥A-EFC的每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径,故S△ABD+S△ABE++S△ADF=S△AFC+S△AEC+S△EFC,又△AEF为公共面,所以S1=S2.【加练·固】1.半径为R的半圆卷成一个圆锥,这个圆锥的体积是()A.πR3B.πR3C.πR3D.πR3【解析】选A.设圆锥的底面半径为r,则2πr=l=π·R.所以r=R.所以圆锥的高h==R.所以V锥=πr2·h=··R=πR3.2.如图①,一只装了水的密封瓶子,其内部可以看成是由半径为1cm和半径为3cm的两个圆柱组成的几何体.当这个几何体如图②水平放置时,液面高度为20cm,当这个几何体如图③水平放置时,液面高度为28cm,则这个几何体的总高度为________cm.【解析】设半径为1cm和半径为3cm的两个圆柱的高分别为h1cm和h2cm,则由题意知π·32·h2+π·12·(20-h2)=π·12·h1+π·32·(28-h1),整理得8π(h1+h2)=232π,所以h1+h2=29.答案:29类型二棱柱、棱锥、棱台的体积角度1等积法求体积【典例】如图,已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,E为AA1的中点,F为CC1上一点,求三棱锥A1-D1EF的体积.世纪【思维·引】三棱锥A1-D1EF的高不易求出,可以转换为求三棱锥F-A1D1E的体积.【解析】由=,因为=EA1·A1D1=a2,又三棱锥F-A1D1E的高为CD=a,所以=×a×a2=a3.=a3.【素养·探】在与柱体、锥体、台体的体积有关的问题中,经常利用核心素养中的数学运算,通过分析空间几何体的形状选择恰当的公式,求出几何体的体积.将本例的条件改为点F为CC1的中点,其他条件不变,如图,求四棱锥A1-EBFD1的体积.【解析】因为EB=BF=FD1=D1E==a,D1F∥EB,所以四边形EBFD1是菱形,连接EF,则△EFB≌△FED1.因为三棱锥A1-EFB与三棱锥A1-FED1的高相等,所以=2=2,又因为=EA1·AB=a2,所以=a3,所以=2=a3.角度2公式法、割补法求体积【典例】1.如图所示,在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD是边长为1的正方形,且△ADE,△BCF均为正三角形,EF∥AB,EF=2,求该多面体的体积.世纪2.如图所示,三棱锥P-ABC的所有棱长都为1,求此三棱锥的体积.世纪【思维·引】1.该几何体是不规则图形,应该将其分割成我们熟悉的几部分,然后再去求解.2.将此三棱锥放在正方体中,看作正方体切去四个三棱锥得到,据此设计算法求解.【解析】1.如图所示,过点A,B分别作AM,BG垂直于EF,垂足分别为点M,G,连接DM,CG,这样就将多面体分为两个体积相等的三棱锥与一个直三...
