课时跟踪训练(十二)直线与平面的夹角1．已知直线l的一个方向向量为a＝(1,1,0)，平面α的一个法向量为μ＝(1,2，－2)，则直线l与平面α夹角的余弦值为()A.B．－C．±D.2．已知长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是边长为4的正方形，长方体的高为AA1＝3，则BC1与对角面BB1D1D夹角的正弦值等于()A.B.C.D.3.如图所示，点P是△ABC所在平面外的一点，若PA，PB，PC与平面α的夹角均相等，则点P在平面α上的投影P′是△ABC的()A．内心B．外心C．重心D．垂心4．(大纲全国卷)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1的夹角的正弦值等于()A.B.C.D.5．正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD夹角的正弦值是________．6.如图所示，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC夹角的正弦值为________________．7.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1，点D是A1B1的中点．求直线AD和平面ABC1夹角的正弦值．8.如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1＝1，AB＝3k，AD＝4k，BC＝5k，DC＝6k(k>0)．(1)求证：CD⊥平面ADD1A1；(2)若直线AA1与平面AB1C夹角的正弦值为，求k的值．1答案1．选Acos〈a，μ〉＝＝＝，则直线l与平面α的夹角θ的正弦值sinθ＝|cos〈a，μ〉|＝，cosθ＝.2．选C建立如图所示的空间直角坐标系，∵底面是边长为4的正方形，AA1＝3，∴A1(4,0,0)，B(4,4,3)，C1(0,4,0)．而面BB1D1D的法向量为AC�＝11AC�＝(－4,4,0)，∴BC1与对角面BB1D1D所成角的正弦值即为|cos〈1BC�，11AC�〉|＝＝＝.3．选B由于PA，PB，PC与平面α的夹角均相等，所以这三条由点P出发的平面ABC的斜线段相等，故它们在平面ABC内的投影P′A，P′B，P′C也都相等，故点P′是△ABC的外心．4．选A法一：如图，连接AC，交BD于点O，由正四棱柱的性质，有AC⊥BD.因为CC1⊥平面ABCD，所以CC1⊥BD.又CC1∩AC＝C，所以BD⊥平面CC1O.在平面CC1O内作CH⊥C1O，垂足为H，则BD⊥CH.又BD∩C1O＝O，所以CH⊥平面BDC1，连接DH，则DH为CD在平面BDC1上的射影，所以∠CDH为CD与平面BDC1所成的角．设AA1＝2AB＝2.在Rt△COC1中，由等面积变换易求得CH＝.在Rt△CDH中，sin∠CDH＝＝.法二：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA1＝2AB＝2，则D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，则DC�＝(0,1,0)，DB�＝(1,1,0)，1DC�＝(0,1,2)．设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥DB�，n⊥1DC�，所以有令y＝－2，得平面BDC1的一个法向量为n＝(2，－2,1)．设CD与平面BDC1的夹角为θ，则sinθ＝|cos〈n，DC�〉|＝＝.5．解析：如图，以DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角2坐标系，设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，易证1AC�是平面A1BD的一个法向量．1AC�＝(－1,1,1)，1BC�＝(－1,0,1)．cos〈1AC�，1BC�〉＝＝.所以BC1与平面A1BD夹角的正弦值为.答案：6．解析：不妨设正三棱柱ABC－A1B1C1的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(，－1,0)，B1(，1,2)，D，则CD�＝(，－，2)，1CB�＝(，1,2)，设平面B1DC的法向量为n＝(x，y,1)，由解得n＝(－，1,1)．又∵DA�＝，∴sinθ＝|cos〈DA�，n〉|＝.答案：7.解：如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系．不妨设AA1＝，则AB＝2，相关各点的坐标分别是A(0，－1,0)，B(，0,0)，C1(0,1，)，D.易知AB�＝(，1,0)，1AC�＝(0,2，)，AD�＝.设平面ABC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，则有解得x＝－y，z＝－y.故可取n＝(1，－，)．所以cos〈n，AD�〉＝＝＝.即直线AD和平面ABC1夹角的正弦值为.8．解：(1)证明：取CD的中点E，连接BE，如图．∵AB∥DE，AB＝DE＝3k，∴四边形ABED为平行四边形，∴BE∥AD且BE＝AD＝4k.在△BCE中，∵BE＝4k，CE＝3k，BC＝5k，∴BE2＋CE2＝BC2，3∴∠BEC＝90°，即BE⊥CD.又∵BE∥AD，∴CD⊥AD.∵AA1⊥平面ABCD，CD平面ABCD，∴AA1⊥CD.又AA1∩AD＝A，∴CD⊥平面ADD1A1.(2)以D为原点，DA�，DC�，1DD�的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A(4k,0,0)，C(0,6k,0)，B1(4k,3k,1)，A1(4k,0,1)，∴AC�＝(－4k,6k,0)，1AB�＝(0,3k,1)，1AA�＝(0,0,1)．设平面AB1C的法向量n＝(x，y，z)，则由得取y＝2，得n＝(3,2，－6k)．设AA1与平面AB1C的夹角为θ，则sinθ＝|cos〈1AA�，n〉|＝＝＝，解得k＝1，故所求k的值为1.4
