课时训练18空间向量与平行、垂直关系1.设平面α的法向量为(1,2,-2),平面β的法向量为(-2,-4,k),若α∥β,则k的值为().A.2B.-4C.4D.-2答案:C解析:由α∥β知两法向量共线,所以,可得k=4.2.已知平面α的一个法向量是n=(1,1,1),A(2,3,1),B(1,3,2),则直线AB与平面α的关系是().A.AB∥αB.AB⊥αC.AB⊄αD.AB∥α或AB⊂α答案:D解析:=(-1,0,1).于是n·=-1+0+1=0,所以⊥n,因此AB∥α或AB⊂α.3.已知=(2,2,1),=(4,5,3),则平面ABC的一个单位法向量为().A.B.C.D.答案:B解析:设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则有取x=1,则y=-2,z=2.所以n=(1,-2,2).由于|n|=3,所以平面ABC的一个单位法向量可以是.4.若直线l的方向向量为(2,1,m),平面α的法向量为,且l⊥α,则m的值为().A.1B.2C.4D.-4答案:C解析:∵l⊥α,∴l的方向向量与平面α的法向量共线.∴(2,1,m)=λ,解得m=4.5.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,点M,P,Q分别为棱AB,CD,BC的中点,若平行六面体的各棱长均相等,则①A1M∥D1P;②A1M∥B1Q;1③A1M∥平面DCC1D1;④A1M∥平面D1PQB1.以上正确说法的个数为().A.1B.2C.3D.4答案:C解析:,,∴,从而A1M∥D1P.∴①③④正确.6.如图PA⊥面ABCD,四边形ABCD为正方形,E是CD的中点,F是AD上一点,当BF⊥PE时,AF∶FD的值为().A.1∶2B.1∶1C.3∶1D.2∶1答案:B解析:建立如图所示的空间直角坐标系,设正方形边长为1,PA=a,则B(1,0,0),E,P(0,0,a).设点F的坐标为(0,y,0),则=(-1,y,0),.∵BF⊥PE,∴·=0.解得y=,即点F的坐标为.∴F为AD的中点.∴AF∶FD=1∶1.7.已知直线l与平面α垂直,直线的一个方向向量为u=(1,3,z),向量v=(3,-2,1)与平面α平行,则z=.答案:3解析:由已知平面α的法向量为u=(1,3,z),2∵v与平面α平行,∴u·v=1×3+3×(-2)+z×1=0.解得z=3.8.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以∠ABC为直角的等腰三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,点E在棱AA1上,要使CE⊥面B1DE,则AE=.答案:a或2a解析:建立如图所示的坐标系,则B1(0,0,3a),D,C(0,a,0).设点E的坐标为(a,0,z),则=(a,-a,z),=(a,0,z-3a).由已知,2a2+z2-3az=0,解得z=a或2a.∴AE=a或2a.9.已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在DB,D1C上,且DE=D1F=a,其中a为正方体的棱长.求证:EF∥平面BB1C1C.证明:如图所示,建立空间直角坐标系Dxyz,则E,F,故.又=(0,a,0),显然为平面BB1C1C的一个法向量,而·=(0,a,0)·=0,∴.又EF⊄平面BB1C1C,所以EF∥平面BB1C1C.10.如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是线段EF的中点.3求证:(1)AM∥平面BDE;(2)AM⊥平面BDF.证明:(1)建立如图所示的空间直角坐标系.设AC∩BD=N,连接NE,则点N,E的坐标分别是,(0,0,1),∴.又点A,M的坐标分别是(,,0),,∴.∴,且NE与AM不共线.∴NE∥AM.又∵NE⊂平面BDE,AM⊄平面BDE,∴AM∥平面BDE.(2)由(1)知,∵D(,0,0),F(,,1),∴=(0,,1).∴·=0.∴.同理.又DF∩BF=F,∴AM⊥平面BDF.4
