《数学归纳法应用》讲义永定金丰中学王启兴2008年4月15日用心爱心专心115号编辑数学归纳法的应用举例·典型例题分析1．证明等式∴等式成立．②假设n＝k时等式成立那么n＝k＋1时由①②可知，对任何n∈N等式均成立例2求证：(n＋1)(n＋2)……(n＋n)＝2n·1·3·5……(2n-1)(n∈N)用心爱心专心115号编辑证明①当n＝1时等式左边=2，等式右边=2×1=2∴等式成立②假设n＝k(h∈N)等式成立即(k＋1)(k＋2)…(k＋k)=2k·1·3·5…(2k-1)成立那么n＝k＋1时(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)＝2(k＋1)(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)＝2k+1·1·3·5…(2k-1)[2(k＋1)-1]即n＝k+1时等式成立由①②可知对任何n∈N等式均成立．说明由k过渡到k＋1时，等式左边增加的因式是(2k＋1)(2k＋2)且减少一个因式(k＋1)，故在假设基础上两边同乘以2(2k＋1)．例3是否存在常数a、b、c使得等式解假设存在a、b、c使题设等式成立，这时令n=3得：70=9a＋3b＋c解之a=3b＝11c＝10于是当n＝1，2，3时记Sn＝1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2用心爱心专心115号编辑假定n＝k时上式成立，即那么当n＝k＋1时Sk+1=Sk＋(k＋1)(k+2)2也就是说等式对n=k＋1也成立．综上所述，当a=3，b＝11，C＝10时，题设的等式对一切自然数n成立．2．证明整除问题例4用数学归纳法证明：n3＋5n(n∈Z)能被6整除。证明(1)当n＝1时，n3＋5n＝6能被6整除。(2)假设当n=k(h∈N)时结论正确，即k3＋5k(k∈N)能被6整除，那么(k＋1)3＋5(k＋1)=(k3＋5k)＋3(k2＋k＋2) k∈N时，k2＋k＋2是偶数∴3(k2＋k＋2)能被6整除，于是(k2＋5k)＋3(k2+k+2)能被6整除。由(1)、(2)可知，对任何n∈N结论正确。例5求证an+1＋(a＋1)2n-1能被a2＋a＋1整除(其中a＞0，且a≠1)。用心爱心专心115号编辑证明(1)当n＝1时，an＋1＋(a＋1)2n-1=a2＋a＋1能被a2＋a＋1整除，即n=1时，命题成立。(2)假设n=k时，ak+1＋(a＋1)2k-1能被a2＋a＋1整除，那么当n＝k+1时，ak+2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak+1＋(a＋1)2(a＋1)2k-1＝a［ak+1＋(a＋1)2k-1］＋(a＋1)2(a＋1)2k-1-a(a+1)2k-1＝a[ak+1＋(a＋1)2k-1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k-1由归纳假设知，ak+1＋(a＋1)2k-1能被a2＋a＋1整除。故ak+2＋(a＋1)2k+1能被a2＋a＋1整除。∴当n＝k＋1时，ak+2＋(a＋1)2k+1能被a2＋a＋1整除。由(1)、(2)可知，命题对任n∈N均成立。结论。【例】已知数列{an}满足a1=0，a2=1，当n∈N时，an+2=an+1+an．求证：数列{an}的第4m+1项(m∈N)能被3整除．分析：本题由an+1=an+1+an求出通项公式是比较困难的，因此可考虑用数学归纳法．①当m=1时，a4m+1=a5=a4+a3=(a3+a2)+(a2+a1)=a2+a1+a2+a2+a1=3，能被3整除．②当m=k时，a4k+1能被3整除，那么当n=k+1时，a4(k+1)+1=a4k+5=a4k+4+a4k+3=a4k+3+a4k+2+a4k+2+a4k+1=a4k+2+a4k+1+a4k+2+a4k+2+a4k+1=3a4k+2+2a4k+1由假设a4k+1能被3整除，又3a4k+2能被3整除，故3a4k+2+2a4k+1能被3整除．因此，当m=k+1时，a4(k+1)+1也能被3整除．由①、②可知，对一切自然数m∈N，数列{an}中的第4m+1项都能被3整除．3．证明几何问题用数学归纳法证明与自然数n有关的几何命题，由k过渡到k＋1常利用几何图形来分析图形前后演变情况．用心爱心专心115号编辑例6有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成f(n)＝n2-n＋2个部分．证明①当n＝1时，即一个圆把平面分成二个部分f(1)=2又n＝1时，n2-n＋2＝2，∴命题成立②假设n＝k时，命题成立，即k个圆把平面分成f(k)＝k2-k＋2个部分，那么设第k＋1个圆记⊙O，由题意，它与k个圆中每个圆交于两点，又无三圆交于同一点，于是它与其它k个圆相交于2k个点．把⊙O分成2k条弧而每条弧把原区域分成2块，因此这平面的总区域增加2k块，即f(k＋1)＝k2-k＋2＋2k=(k＋1)2-(k＋1)＋2即n＝k＋1时命题成立．由①②可知对任何n∈N命题均成立．说明本题如何应用归纳假设及已知条件，其关键是分析k增加“1”时，研究第k＋1个圆与其它k个圆的交点个数问题．【例】n个半圆的圆心在同一条直线l上，这n个半圆每两个都相交，且都在直线l的同侧，问这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧？分析：设这些半圆最多互相分成f(n)段圆弧，采用由特殊到...
