周周回馈练(七)(满分75分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．在(1＋x＋x2)10的展开式中，各项的系数之和为()A．1B．310－1C．310D．210答案C解析设(1＋x＋x2)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a20x20，令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a20＝310，选C.2．(1＋2)3(1－)5的展开式中x的系数是()A．－4B．－2C．2D．4答案C解析(1＋2)3(1－)5＝·，故x的系数是－10＋12＝2.3．若多项式x2＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，则a9＝()A．9B．10C．－9D．－10答案D解析x10的系数为a10，∴a10＝1，x9的系数为a9＋C·a10，∴a9＋10＝0，∴a9＝－10.故应选D.4．(1＋ax＋by)n展开式中不含x的项的系数的绝对值的和为243，不含y的项的系数的绝对值的和为32，则a，b，n的值可能为()A．a＝2，b＝－1，n＝5B．a＝－2，b＝－1，n＝6C．a＝－1，b＝2，n＝6D．a＝1，b＝2，n＝5答案D解析令a＝0，y＝1，则(1＋b)n＝243＝35；令b＝0，x＝1，则(1＋a)n＝32＝25，则可取a＝1，b＝2，n＝5，选D.5．对于二项式n(n∈N)，四位同学作出了四种判断，下列判断中正确的是()①存在n∈N，展开式中有常数项②对任意n∈N，展开式中没有常数项③对任意n∈N，展开式中没有x的一次项④存在n∈N，展开式中有x的一次项A．①与③B．②与③C．②与④D．①与④答案D解析二项式n展开式的通项为Tr＋1＝Cn－r·(x3)r＝Cxr－n·x3r＝Cx4r－n，当展开式中有常数项时，有4r－n＝0，即存在n、r使方程有解；当展开式中有x的一次项时，有4r－n＝1，即存在n，r使方程有解，即分别存在n，使展开式中有常数项和一次项．6．如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所连的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列前n项和为Sn，则S16等于()1A．164B．155C．144D．128答案A解析S16＝C＋C＋C＋C＋…＋C＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋C＋…＋C－1＝C－1＝164.故选A.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7.n展开式中的第7项与倒数第7项的比是1∶6，则展开式中的第7项为________．答案解析第7项：T7＝C()n－66，倒数第7项：Tn－5＝C()6n－6，由＝，得n＝9.故T7＝C()9－66＝C×2×＝.8．设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则a10＋a11＝________.答案0解析利用二项式展开式的性质，可知第11项和第12项二项式系数最大，而项的系数互为相反数，即a10＋a11＝0.9．在n的展开式中，记第k项的二项式系数为f(k)．若f(1)＋1，f(2)，f(3)成等差数列，则所有奇数项的二项式系数的和为________．答案8解析由已知，得f(1)＋1＝C＋1＝2，f(2)＝C＝n，f(3)＝C＝.∵f(1)＋1，f(2)，f(3)成等差数列，∴f(1)＋1＋f(3)＝2f(2)，即2＋＝2n，解得n＝4(n＝1舍去)，∴所有奇数项的二项式系数的和为×24＝8.三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)10．已知n的展开式的各项系数之和等于5的展开式中的常数项，求：(1)n展开式的二项式系数和；(2)n展开式中a－1项的二项式系数．解依题意，令a＝1，得n展开式中各项系数和为(3－1)n＝2n，5展开式中的通项为Tr＋1＝C(4)5－rr＝(－1)r·C45－r·5－b.若Tr＋1为常数项，则＝0，即r＝2，故常数项为T3＝(－1)2C×43×5－1＝27，于是有2n＝27，得n＝7.(1)n展开式的二项式系数和为2n＝27＝128.(2)7的通项为Tr＋1＝C7－r·(－)r＝C(－1)r·37－r·a，令＝－1，得r＝3，∴所求a－1项的二项式系数为C＝35.11．已知(＋3x2)n展开式中各项系数和比二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．解令x＝1得展开式中各项系数和为(1＋3)n＝4n.又展开式中二项式系数和为C＋C＋…＋C＝2n，由题意有4n－2n＝992.即(2n)2－2n－992＝0，(2n－32)(2n＋31)＝0.所以2n＝－31(舍去)或2n＝32.所以n＝5.(1)因为n＝5，所以展开式共6项，其中二项式系数最大项为第三、四两项，它们是T3＝C()3·(3x2)2＝90x6.T4＝C()2(3x2)3＝270x.(2)设展开式中第r＋1项的系数最大，又Tr＋1＝C()5－r·(3x2)r＝C3rx，得2⇒⇒≤r≤.又因为r∈N*，所以r＝4，所以展开式中第5项系数最大．T5＝C34x＝405x.12．当n∈N，n>1时，求证：21＋C1＝2，n＝1＋C1＋C2＋…＋Cn＝2＋＋·＋…＋·<2＋＋＋…＋<2＋＋＋…＋＝2＋＝3－<3.故2
