考点：平面向量数量积的运算1、(1)(2014·威海期末考试)已知a＝(1,2)，2a－b＝(3,1)，则a·b＝()．A．2B．3C．4D．5(2)(2013·江西卷)设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，则向量a在b方向上的射影为________．解析(1) a＝(1,2)，2a－b＝(3,1)∴b＝2a－(3,1)＝2(1,2)－(3,1)＝(－1,3)．∴a·b＝(1,2)·(－1,3)＝－1＋2×3＝5.(2)由于a＝e1＋3e2，b＝2e1，所以|b|＝2，a·b＝(e1＋3e2)·2e1＝2e＋6e1·e2＝2＋6×＝5，所以a在b方向上的射影为|a|·cos
＝＝.答案(1)D(2)2、(1)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝()．A．6B．5C．4D．3(2)(2013·山东卷)已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|＝3，|AC|＝2.若AP＝λAB＋AC，且AP⊥BC，则实数λ的值为______．解析(1)8a－b＝8(1,1)－(2,5)＝(6,3)，所以(8a－b)·c＝(6,3)·(3，x)＝30，即18＋3x＝30，解得x＝4.故选C.(2) AP⊥BC，∴AP·BC＝0，∴(λAB＋AC)·BC＝0，即(λAB＋AC)·(AC－AB)＝(λ－1)AB·AC－λAB2＋AC2＝0. 向量AB与AC的夹角为120°，|AB|＝3，|AC|＝2，∴(λ－1)|AB||AC|·cos120°－9λ＋4＝0，解得λ＝.答案(1)C(2)3.向量a＝(1,2)，b＝(0,2)，则a·b＝()．A．2B．(0,4)C．4D．(1,4)解析a·b＝(1,2)·(0,2)＝1×0＋2×2＝4.答案C4．在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则AC在AB方向上的投影为()．A.B.C．1D．2解析如图所示，AC在AB方向上的投影为|AC|cos60°＝2×＝1.答案C5．已知向量a＝(，1)，b＝(0,1)，c＝(k，)．若a＋2b与c垂直，则k＝()．A．－3B．－2C．－1D．1解析由题意知(a＋2b)·c＝0，即a·c＋2b·c＝0.所以k＋＋2＝0，解得k＝－3.答案A6．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(2a＋b)·b＝0，则向量a，b的夹角为()．A.B.C.D.解析由(2a＋b)·b＝0，得2a·b＋|b|2＝0.∴2|b|2·cos＋|b|2＝0，∴cos＝－，1又∈[0，π]，∴＝.答案A7．(2013·新课标全国Ⅰ卷)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝________.解析b·c＝b·[ta＋(1－t)b]＝ta·b＋(1－t)b2＝t|a||b|cos60°＋(1－t)|b|2＝＋1－t＝1－.由b·c＝0，得1－＝0，所以t＝2.答案28．在平面直角坐标系xOy中，已知OA＝(3，－1)，OB＝(0,2)．若OC·AB＝0，AC＝λOB，则实数λ的值为________．解析设C(x，y)，则OC＝(x，y)，又AB＝OB－OA＝(0,2)－(3，－1)＝(－3,3)，所以OC·AB＝－3x＋3y＝0，解得x＝y.又AC＝(x－3，y＋1)＝λ(0,2)，得结合x＝y，解得λ＝2.答案29.(2014·潍坊二模)如图，在△ABC中，O为BC中点，若AB＝1，AC＝3，＝60°，则|OA|＝________.解析因为＝60°，所以AB·AC＝|AB|·|AC|cos60°＝1×3×＝，又AO＝，所以AO2＝(AB＋AC)2＝(AB2＋2AB·AC＋AC2)，即AO2＝(1＋3＋9)＝，所以|OA|＝.答案考点：向量的夹角与向量的模1、(1)若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________．(2)已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|＝________.解析(1)等式平方得|a|2＝9|b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b，则|a|2＝|a|2＋4|b|2＋4|a||b|cosθ，即0＝4|b|2＋4·3|b|2cosθ，得cosθ＝－.(2)因为|2a－b|2＝(2a－b)2＝4a2＋b2－4a·b＝4a2＋b2＝4＋4＝8，故|2a－b|＝2.答案(1)－(2)22、已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.(2)若平面向量a，b满足|a|＝1，|b|≤1，且以向量a，b为邻边的平行四边形的面积为，则a和b的夹角θ的取值范围是________．解析(1)由|2a－b|＝平方得，4a2－4a·b＋b2＝10，即|b|2－4|b|cos45°＋4＝10，亦即|b|2－2|b|－6＝0，解得|b|＝3或|b|＝－(舍去)．(2)依题意有|a||b|sinθ＝，即sinθ＝，由|b|≤1，得2≤sinθ≤1，又0≤θ≤π，故有≤θ≤.答案(1)3(2)3．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R)．(1)若a⊥b，求x的值；(2)若a∥b，求|a－b|.解(1)若a⊥b，则a·b＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0.整理得x2－2x－3＝0，故x＝－1或x＝3.(2)若a∥b，则有1×(－x)－x(2x＋3)＝0，即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.当x＝0时，a＝(1,0)，b...
