第三讲分类讨论思想配套作业一、选择题1．已知实数m是2，8的等比中项，则曲线x2－＝1的离心率为(D)A.B.C.D.或解析： m是2，8的等比中项，∴m2＝16，∴m＝±4.当m＝4时，曲线为双曲线，其中a＝1，c＝，e＝＝；当m＝－4时，曲线为椭圆，其中a＝2，c＝，e＝＝，故选D.2．已知函数f(x)＝则不等式f(x)≤2的解集是(A)A．[0，＋∞)B．[－1，2]C．[0，2]D．[1，＋∞)解析：由得0≤x≤1；由得x>1，∴解集是[0，＋∞)，故选A.3．设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x3.又函数g(x)＝|xcosπx|，则函数h(x)＝g(x)－f(x)在上的零点个数为(B)A．5个B．6个C．7个D．8个解析：因为当x∈[0，1]时，f(x)＝x3.所以当x∈[1，2]，(2－x)∈[0，1]，f(x)＝f(2－x)＝(2－x)3,当x∈时，g(x)＝xcos(πx)；当x∈时，g(x)＝－xcos(πx)，注意到函数f(x),g(x)都是偶函数，且f(0)＝g(0)，f(1)＝g(1),f＝g＝0，作出函数f(x),g(x)的大致图象，函数h(x)除了0，1这两个零点之外，分别在区间，，，上各有一个零点，共有6个零点．故选B.4．经过点P(2，3)且在x，y轴上截距相等的直线方程是(B)A．x＋y－5＝0，x－y＋1＝0B．x＋y－5＝0，3x－2y＝0C．x＋y－5＝0，x－y＋1＝0，3x－2y＝0D．x－y＋1＝0，3x－2y＝0解析：当截距为零时，直线方程为3x－2y＝0；当截距不为零时，直线方程为x＋y－5＝0.5．已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N，MN2＝λAN·NB，其中λ为常数，则动点M的轨迹不可能是(C)A．圆B．椭圆C．抛物线D．双曲线解析：考查曲线方程、分类讨论的思想．不妨设|AB|＝2，以AB中点O为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy，则A(－1，0)，B(1，0)，设M(x，y)，则N(x，0)，MN＝(0，－y)，AN＝(x＋1，0)，NB＝(1－x，0)，代入已知式子得λx2＋y2＝λ，当λ＝1时，曲线为A：当λ＝2时，曲线为B；当λ＜0时，曲线为D，所以选C.6．已知点O(0，0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB为直角三角形，则必有(C)A．b＝a3B．b＝a3＋C．(b－a3)(b－a3－)＝0D．|b－a3|＋|b－a3－|＝0解析：根据直角三角形的直角的位置求解．若以O为直角顶点，则B在x轴上，则a必为0，此时O，B重合，不符合题意；若∠A＝，则b＝a3≠0.若∠B＝，根据斜率关系可知a2·＝－1，所以a(a3－b)＝－1，即b－a3－＝0.以上两种情况皆有可能，故只有C满足条件．二、填空题7．设点F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P为椭圆上一点，已知点P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|＞|PF2|，则的值为________．解析：若∠PF2F1＝90°，则|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2.又 |PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2，解得|PF1|＝，|PF2|＝，∴＝.若∠F1PF2＝90°，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2＝|PF1|2＋(6－|PF1|)2，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，∴＝2.综上可知，＝或2.答案：或28．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为________．解析：分侧面矩形长、宽分别为6和4或4和6两种情况．答案：4或三、解答题9．已知函数f(x)＝2asin2x－2asinxcosx＋a＋b(a≠0)的定义域为，值域为[－5，1]，求常数a，b的值．解析：f(x)＝a(1－cos2x)－asin2x＋a＋b＝－2asin＋2a＋b， x∈，∴2x＋∈，∴－≤sin≤1，因此，由f(x)的值域为[－5，1]，可得或解得或10．在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，且l过点T(4，0)．求证：OA·OB＝0.解析：设过点T(4，0)的直线l交抛物线y2＝4x于点A(x1，y1)，B(x2，y2)．①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，此时直线l与抛物线交于点A(4，4)，B(4，－4)，∴OA·OB＝0.②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－4)．其中k≠0，由得ky2－4y－16k＝0，则y1·y2＝－16.又 x1＝y，x2＝y，∴OA·OB＝x1·x2＋y1·y2＝yy＋y1y2＝0.综上所述，OA·OB＝0得证．11．如图所示，已知一条线段AB，它的两个端点分别在直二面角PlQ的两个面内移动，若AB和平面P，Q所成的角分别为α，β.试讨论α＋β的取值范围．解析：①当AB⊥l时，α＋β＝90°.②当AB与l不垂直且不在l上时，在平面P内作AC⊥l，C为垂足，连接BC， 平面P⊥平面Q，∴AC⊥平面Q.∴...
