技法强化训练(二)数形结合思想(对应学生用书第160页)题组1利用数形结合思想解决方程的根或函数零点问题1．方程|x2－2x|＝a2＋1(a＞0)的解的个数是()【导学号：68334011】A．1B．2C．3D．4B[ a＞0，∴a2＋1＞1.而y＝|x2－2x|的图象如图，∴y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有2个交点．]2．已知函数f(x)＝|log2|x||－x，则下列结论正确的是()A．f(x)有三个零点，且所有零点之积大于－1B．f(x)有三个零点，且所有零点之积小于－1C．f(x)有四个零点，且所有零点之积大于1D．f(x)有四个零点，且所有零点之积小于1A[在同一坐标系中分别作出f1(x)＝|log2|x||与f2(x)＝x的图象，如图所示，由图象知f1(x)与f2(x)有三个交点，设三个交点的横坐标从左到右分别是x1，x2，x3，因为f＜0，f＞0，所以－＜x1＜－，同理＜x2＜1,1＜x3＜2，即－1＜x1x2x3＜－，即所有零点之积大于－1.]3．设函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝x3，则函数g(x)＝|cos(πx)|－f(x)在上的所有零点的和为()A．7B．6C．3D．2A[函数g(x)＝|cos(πx)|－f(x)在上的零点为函数h(x)＝|cos(πx)|与函数f(x)的交点的横坐标．因为f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，所以函数f(x)为关于x＝1对称的偶函数，又因为当x∈[0,1]时，f(x)＝x3，则在平面直角坐标系内画出函数h(x)＝|cos(πx)|与函数f(x)在内的图象，如图所示，由图易得两函数图象共有7个交点，不妨设从左到右依次为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，则由图易得x1＋x2＝0，x3＋x5＝2，x4＝1，x6＋x7＝4，所以x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＝7，即函数g(x)＝|cos(πx)|－f(x)在上的零点的和为7，故选A.]4．若函数f(x)＝a＋sinx在[π，2π]上有且只有一个零点，则实数a＝________.【导学号：68334012】1[函数f(x)＝a＋sinx在[π，2π]上有且只有一个零点，即方程a＋sinx＝0在[π，2π]上只有一解，即函数y＝－a与y1＝sinx，x∈[π，2π]的图象只有一个交点，由图象可得a＝1.]5．已知函数f(x)＝若存在实数b，使函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，则a的取值范围是________．(－∞，0)∪(1，＋∞)[函数g(x)有两个零点，即方程f(x)－b＝0有两个不等实根，则函数y＝f(x)和y＝b的图象有两个公共点．①若a＜0，则当x≤a时，f(x)＝x3，函数单调递增；当x＞a时，f(x)＝x2，函数先单调递减后单调递增，f(x)的图象如图(1)实线部分所示，其与直线y＝b可能有两个公共点．②若0≤a≤1，则a3≤a2，函数f(x)在R上单调递增，f(x)的图象如图(2)实线部分所示，其与直线y＝b至多有一个公共点．③若a＞1，则a3＞a2，函数f(x)在R上不单调，f(x)的图象如图(3)实线部分所示，其与直线y＝b可能有两个公共点．综上，a＜0或a＞1.]题组2利用数形结合思想求解不等式或参数范围6．若不等式logax＞sin2x(a＞0，a≠1)对任意x∈都成立，则a的取值范围为()A.B.C.D．(0,1)A[记y1＝logax(a＞0，a≠1)，y2＝sin2x，原不等式即为y1＞y2，由题意作出两个函数的图象，如图所示，知当y1＝logax的图象过点A时，a＝，所以当＜a＜1时，对任意x∈都有y1＞y2.]7．函数f(x)是定义域为{x|x≠0}的奇函数，且f(1)＝1，f′(x)为f(x)的导函数，当x＞0时，f(x)＋xf′(x)＞，则不等式xf(x)＞1＋ln|x|的解集是()【导学号：68334013】A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．(－∞，－1)C．(1，＋∞)D．(－1,1)A[令g(x)＝xf(x)－ln|x|，则g(x)是偶函数，2且当x＞0时，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)－＞0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增．故不等式xf(x)＞1＋ln|x|⇔g(|x|)＞g(1)，∴|x|＞1，解得x＞1或x＜－1.故选A.]8．若不等式|x－2a|≥x＋a－1对x∈R恒成立，则a的取值范围是________．[作出y＝|x－2a|和y＝x＋a－1的简图，依题意知应有2a≤2－2a，故a≤.]9．已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是________．(10,12)[作出f(x)的大致图象．由图象知，要使f(a)＝f(b)＝f(c)，不妨设a＜b＜c，则－lga＝lgb＝－c＋6.∴lga＋lgb＝0，∴ab＝1，∴abc＝c.由图知10＜c＜12，∴abc∈(10,12)．]10．(2017·杭州市高三年级第二学期教学质量检测)设函数f(x)＝若|f(x)＋f(x＋l)－2|＋|f(x)－f(x＋l)|≥2(...
