高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4-2.4.1 抛物线及其标准方程练习 新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学试题VIP专享VIP免费

2.4.1抛物线及其标准方程A级基础巩固一、选择题1．抛物线y＝4x2的准线方程为()A．x＝－1B．y＝－1C．x＝－D．y＝－答案：D2．若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点在圆x2＋y2＋2x－3＝0上，则p＝()A.B．1C．2D．3解析：因为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为在圆x2＋y2＋2x－3＝0上，所以＋p－3＝0，解得p＝2或p＝－6(舍去)．答案：C3．抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线－＝1的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是()A．x2＝4yB．x2＝－4yC．y2＝－12xD．x2＝－12y解析：由题意得c＝＝3，所以抛物线的焦点坐标为(0，3)或(0，－3)，所以该抛物线的标准方程为x2＝12y或x2＝－12y.答案：D4．若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为()A.B.C.D.解析：设抛物线的焦点为F，因为点P到准线的距离等于它到顶点的距离，所以点P为线段OF的垂直平分线与抛物线的交点，易求点P的坐标为.答案：B5．已知点P是抛物线y2＝4x上一点，设点P到此抛物线准线的距离是d1，到直线x＋2y－12＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值是()A．5B．4C.D.答案：C二、填空题6．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为________．解析：由题可知抛物线的焦点坐标为，于是过焦点且斜率为2的直线l的方程为y＝2，令x＝0，可得A点坐标为，所以S△OAF＝··＝4，所以a＝±8，故抛物线的方程为y2＝±8x.答案：y2＝±8x7．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且满足|1NF|＝|MN|，则∠NMF＝________．解析：过N作NQ⊥准线于Q，则|NQ|＝|NF|.因为|NF|＝|MN|，所以|NQ|＝|MN|，所以cos∠QNM＝＝，所以∠QNM＝，所以∠NMF＝∠QNM＝.答案：8．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为________．答案：2三、解答题9．已知动圆M经过点A(3，0)，且与直线l：x＝－3相切，求动圆圆心M的轨迹方程．解：法一：设动点M(x，y)，设⊙M与直线l：x＝－3的切点为N，则|MA|＝|MN|，所以点M的轨迹是抛物线，且以A(3，0)为焦点，以直线l：x＝－3为准线，所以＝3，所以p＝6.所以圆心M的轨迹方程是y2＝12x.法二：设动点M(x，y)，则点M的轨迹是集合P＝{M||MA|＝|MN|}，即＝|x＋3|，化简得y2＝12x.所以圆心M的轨迹方程为y2＝12x.10．喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处，喷出水流的最高点B高5m，且与OA所在的直线相距4m，水流落在以O为圆心，半径为9m的圆上，则管柱OA的长是多少？解：如图所示，建立直角坐标系，设水流所形成的抛物线的方程为x2＝－2py(p＞0)，因为点C(5，－5)在抛物线上，所以25＝－2p·(－5)，因此2p＝5，所以抛物线的方程为x2＝－5y，点A(－4，y0)在抛物线上，所以16＝－5y0，即y0＝－，所以OA的长为5－＝1.8(m)．所以管柱OA的长为1.8m.B级能力提升1．以双曲线－＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为()A．y2＝16xB．y2＝－16xC．y2＝8xD．y2＝－8x答案：A2．抛物线y＝－x2上的动点M到两定点F(0，－1)，E(1，－3)的距离之和的最小值为________．解析：将抛物线方程化成标准方程为x2＝－4y，2可知焦点坐标为(0，－1)，因为－3＜－，所以点E(1，－3)在抛物线的内部，如图所示，设抛物线的准线为l，过M点作MP⊥l于点P，过点E作EQ⊥l于点Q，由抛物线的定义可知，|MF|＋|ME|＝|MP|＋|ME|≥|EQ|，当且仅当点M在EQ上时取等号，又|EQ|＝1－(－3)＝4，故距离之和的最小值为4.答案：43.一种卫星接收天线的轴截面如图所示，卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处．已知接收天线的口径(直径)为4.8m，深度为0.5m，试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标．解：如图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点与原点重合．设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)，由已知条件可得，点A的坐标是(0.5，2.4)，代入方程，得2.42＝2p×0.5，所以p＝5.76.所以所求抛物线的标准方程是y2＝11.52x，焦点坐标是(2.88，0)3