11.1.2构成空间几何体的基本元素关键能力·素养形成类型一文字语言与符号语言的相互转化【典例】1.如果直线a⊂平面α,直线b⊂平面α,M∈a,N∈b,M∈l,N∈l,则()A.l⊂αB.l⊄αC.l∩α=MD.l∩α=N2.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1.(1)AC∩BD=____________.(2)平面AB1∩平面A1C1=____________.(3)A1B1∩B1B∩B1C1=____________.【思维·引】1.可依据各个符号的意义以及点线面的位置关系判断求解.2.借助正方体的图形以及数学符号的几何意义求解.【解析】1.选A.因为M∈l,N∈l,且M∈α,N∈α,所以l⊂α.2.由图形可知,AC∩BD=O,平面AB1∩平面A1C1=A1B1,A1B1∩B1B∩B1C1=B1.答案:(1)O(2)A1B1(3)B1【内化·悟】“∈,⊂,∩”在点、线、面之间的关系中如何运用?提示:含有点时才能用到“∈”,点线与点面关系中用;“⊂”只用于线在面内,“∩”在线面相交、面面相交时运用.【类题·通】三种语言要熟练转换:在图形、文字叙述以及符号表述中要熟练地结合、融合在一起,才能更好地配合“直观想象”.【加练·固】如图所示,平面ABEF记作平面α,平面ABCD记作平面β,根据图形填写:(1)A∈α,B________α,E________α,C________α,D______α.(2)α∩β=________.(3)A∈β,B________β,C________β,D______β,E______β,F______β.(4)AB________α,AB________β,CD________α,CD______β,BF________α,BF________β.【解析】依据图形以及数学符号可知:(1)B∈α,E∈α,C∉α,D∉α;(2)α∩β=AB;(3)B∈β,C∈β,D∈β,E∉β,F∉β;(4)AB⊂α,AB⊂β,CD⊄α,CD⊂β,BF⊂α,BF⊄β.答案:(1)∈∈∉∉(2)AB(3)∈∈∈∉∉(4)⊂⊂⊄⊂⊂⊄类型二空间两条直线的位置关系的判断【典例】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,CC1的中点,以下四个结论:世纪①直线DM与CC1是相交直线;②直线AM与NB是平行直线;③直线BN与MB1是异面直线;④直线AM与DD1是异面直线.其中正确的为________(把你认为正确的结论的序号都填上).【思维·引】利用平行直线、相交直线、异面直线的定义判断.【解析】①中直线DM与直线CC1在同一平面内,它们不平行,必相交.故结论正确.③④中的两条直线既不相交也不平行,即均为异面直线,故结论正确.②中AM与BN是异面直线,故②不正确.故填①③④.答案:①③④【类题·通】两直线位置关系分为共面(平行和相交)和异面,其中共面时用平面几何知识处理即可,现在关键是把握异面的理解与直观想象,两直线不同在任何一个平面内即既不平行也不相交.【习练·破】1.若a和b是异面直线,b和c是异面直线,则a和c的位置关系是()A.a∥cB.a和c异面C.a和c相交D.a和c平行、相交或异面【解析】选D.如图,在长方体ABCD-A′B′C′D′中,令A′D′所在直线为a,AB所在直线为b,由题意,a和b是异面直线,b和c是异面直线.若令B′C′所在直线为c,则a和c平行.若令C′C所在直线为c,则a和c异面.若令D′D所在直线为c,则a和c相交.2.两条直线没有公共点,则两条直线的位置关系为________.【解析】依据两条直线的位置关系知:当两条直线没有公共点时,这两条直线可能平行,也可能异面.答案:平行或异面【加练·固】如图,在这个长方体中:①BM与ED平行;②CN与BM是异面直线;③CN与BE是异面直线;④DN与BM是异面直线.以上四个说法中,正确说法的序号是________.【解析】根据长方体的特征可得:①BM与ED是异面直线,①错误;②CN与BM是异面直线,②正确;③由已知可证四边形BCNE是平行四边形,所以CN与BE是平行直线,③错误;④DN与BM是异面直线,④正确.答案:②④类型三直线与平面、平面与平面的位置关系角度1直线与平面的位置关系【典例】1.下列说法错误的是()A.若直线l平行于平面α,则平面α内存在直线与l平行B.若直线l平行于平面α,则平面α内存在直线与l异面C.若直线l平行于平面α,则平面α内存在直线与l垂直D.若直线l平行于平面α,则平面α内存在直线与l相交2.下列说法中,正确的个数是世纪()①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交,那么另一条直线也和这个平面相交;②经过两条异面直线中的一条直线有一个平面与另一条直线平行;③两条相交直线,其中一条与一个平面平行,则另一条一定与这个平面平行.A.0B.1C.2D.33.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1...
