单元质检六数列(B)(时间:45分钟满分:100分)单元质检卷第12页一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.(2015太原二模)在单调递减的等比数列{an}中,若a3=1,a2+a4=,则a1=()A.2B.4C.1D.2答案:B解析:由已知得:a1q2=1,a1q+a1q3=,∴,q2-q+1=0,∴q=(q=2舍去),∴a1=4.2.在数列{an}中,a1=2,当n为奇数时,an+1=an+2;当n为偶数时,an+1=2an-1,则a12等于()A.32B.34C.66D.64答案:C解析:依题意,a1,a3,a5,a7,a9,a11构成以2为首项,2为公比的等比数列,故a11=a1×25=64,又当n为奇数时,an+1=an+2,故a12=a11+2=66.故选C.3.设an=-n2+9n+10,则数列{an}前n项和最大时n的值为()A.9B.10C.9或10D.12答案:C解析:令an≥0,得n2-9n-10≤0,∴1≤n≤10.令an+1≤0,即n2-7n-18≥0,∴n≥9.∴9≤n≤10.∴前9项和等于前10项和,它们都最大.4.(2015石家庄二模)等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=a2+5a1,a7=2,则a5=()A.B.-C.2D.-2导学号〚92950663〛答案:A解析:由条件得∴∴a5=a1q4=×42=.5.若{an}是等差数列,首项a1>0,a1007+a1008>0,a1007·a1008<0,则使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是()A.2012B.2013C.2014D.2015导学号〚92950664〛答案:C解析:∵a1007+a1008>0,∴a1+a2014>0,∴S2014=>0.∵a1007·a1008<0,a1>0,∴a1007>0,a1008<0,∴2a1008=a1+a2015<0,∴S2015=<0,故选C.6.数列{an}中,已知对任意n∈N+,a1+a2+a3+…+an=3n-1,则+…+等于()A.(3n-1)2B.(9n-1)C.9n-1D.(3n-1)导学号〚92950665〛答案:B解析:∵a1+a2+a3+…+an=3n-1,∴a1+a2+a3+…+an-1=3n-1-1(n≥2),两式相减得an=3n-3n-1=2·3n-1(n≥2),又a1=2满足上式,∴an=2·3n-1.∴=4·32n-2=4·9n-1,∴+…+=4(1+9+92+…+9n-1)=(9n-1).二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.在3和一个未知数之间填上一个数,使三数成等差数列,若中间项减去6则成等比数列,则此未知数是.答案:3或27解析:设此三数为3,a,b,则解得∴这个未知数为3或27.8.(2015银川质检)在数列{an}中,a1=1,a2=2,且an+2-an=1+(-1)n(n∈N+),则a1+a2+…+a51=.导学号〚92950666〛答案:676解析:利用分组求和法求解.当n为正奇数时,an+2-an=0,又a1=1,则所有奇数项都是1;当n为正偶数时,an+2-an=2,又a2=2,则所有偶数项是首项和公差都是2的等差数列,所以a1+a2+…+a51=(a1+a3+…+a51)+(a2+a4+…+a50)=26a1+25a2+×2=676.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)(2015石家庄一模)已知{an}是各项均为正数的等比数列,且a1·a2=2,a3·a4=32.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列{bn}满足+…+=an+1-1(n∈N+),求数列{bn}的前n项和.解:(1)设等比数列{an}的公比为q,由已知得又∵a1>0,q>0,∴∴an=2n-1.(2)由题意可得+…+=2n-1,①∴+…+=2n-1-1(n≥2),②∴①-②,得=2n-1-(2n-1-1)(n≥2),=2n-1(n≥2),∴bn=(2n-1)·2n-1(n≥2).当n=1时,b1=1,符合上式,∴bn=(2n-1)·2n-1.设数列{bn}的前n项和为Tn=1+3×21+5×22+…+(2n-1)·2n-1,则2Tn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-3)·2n-1+(2n-1)·2n,两式相减得-Tn=1+2(2+22+…+2n-1)-(2n-1)·2n=-(2n-3)·2n-3,∴Tn=(2n-3)·2n+3.导学号〚92950667〛10.(15分)已知数列{an}的前n项和为Sn=3n,数列{bn}满足b1=-1,bn+1=bn+(2n-1)(n∈N+).(1)求数列{an}的通项公式an;(2)求数列{bn}的通项公式bn;(3)若cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.解:(1)∵Sn=3n,∴Sn-1=3n-1(n≥2).∴an=Sn-Sn-1=3n-3n-1=2×3n-1(n≥2).当n=1时,2×31-1=2≠a1=S1=3,∴an=(2)∵bn+1=bn+(2n-1),∴b2-b1=1,b3-b2=3,b4-b3=5,…,bn-bn-1=2n-3.以上各式相加得bn-b1=1+3+5+…+(2n-3)==(n-1)2.∵b1=-1,∴bn=n2-2n.(3)由题意得cn=当n≥2时,Tn=-3+2×0×31+2×1×32+2×2×33+…+2(n-2)×3n-1,①∴3Tn=-9+2×0×32+2×1×33+2×2×34+…+2(n-2)×3n.②∴①-②得-2Tn=6+2×32+2×33+…+2×3n-1-2(n-2)×3n.∴Tn=(n-2)×3n-(3+32+33+…+3n-1)=(n-2)×3n-.∴Tn=又当n=1时,=-3,∴Tn=.导学号〚92950668〛11.(15分)(2015杭州质检)已知数列{an}满足a1=1,an+1=1-,其中n∈N+.(1)设bn=,求证:数列{bn}是等差数列,并求出{an}的通项公式.(2)设cn=,数列{cncn+2}的前n项和为Tn,是否存在正整数m,使得Tn<对于n∈N+恒成立?若存在,求出m的最小值;若不存在,请说明理由.解:(1)∵bn+1-bn===2(常数),∴数列{bn}是等差数列.∵a1=1,∴b1=2,因此bn=2+(n-1)×2=2n,由bn=得an=.(2)由cn=,an=得cn=,∴cncn+2==2,∴Tn=2+…+=2<3,依题意要使Tn<对于n∈N+恒成立,只需≥3,即≥3,解得m≥3或m≤-4,又m为正整数,所以m的最小值为3.导学号〚92950669〛
