限时集训（十五）圆锥曲线的方程与性质基础过关1.若双曲线y2a2-x29=1(a>0)的一条渐近线与直线y=13x垂直,则此双曲线的实轴长为()A.2B.4C.18D.362.已知点F是抛物线y2=4x的焦点,M,N是该抛物线上两点,|MF|+|NF|=6,则线段MN的中点的横坐标为()A.1B.2C.3D.43.已知F1(-3,0),F2(3,0)是椭圆x2m+y2n=1的两个焦点,P是椭圆上的点,当∠F1PF2=2π3时,△F1PF2的面积最大,则有()A.m=12,n=3B.m=24,n=6C.m=6,n=32D.m=12,n=64.已知直线l与抛物线C:y2=4x相交于A,B两点,若线段AB的中点为(2,1),则直线l的方程为()A.y=x-1B.y=-2x+5C.y=-x+3D.y=2x-35.设F1,F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,A1,A2分别为双曲线的左、右顶点,其中|F1F2|=❑√3|A1A2|,若双曲线的顶点到渐近线的距离为❑√2,则双曲线的标准方程为()A.x23-y26=1B.x26-y23=1C.x2-y22=1D.x22-y2=16.若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线与圆(x-❑√3)2+(y-1)2=1相切,则此双曲线的离心率为()A.2B.❑√5C.❑√3D.❑√27.已知抛物线y2=4x的焦点为F,以F为圆心的圆与抛物线交于M,N两点,与抛物线的准线交于P,Q两点,若四边形MNPQ为矩形,则矩形MNPQ的面积是()A.16❑√3B.12❑√3C.4❑√3D.38.在等腰梯形ABCD中AB∥CD,|AB|=2|CD|=4,∠BAD=60°,某双曲线以A,B为焦点,且经过C,D两点,则该双曲线的离心率为()A.❑√2B.❑√3C.❑√5D.❑√3+19.已知F1,F2分别是双曲线3x2-y2=3a2(a>0)的左、右焦点,点P是抛物线y2=8ax与双曲线的一个交点,若|PF1|+|PF2|=12,则抛物线的准线方程为()A.x=-4B.x=-3C.x=-2D.x=-110.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在抛物线C上,且|MO|=|MF|=32(O为坐标原点),则△MOF的面积为()A.❑√22B.12C.14D.❑√211.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=4x的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点,若S△AOB=2❑√3,则双曲线的离心率e=.12.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±❑√33x,若抛物线y2=8x的焦点与双曲线C的右焦点重合,则双曲线C的方程为.13.已知F是抛物线C:x2=12y的焦点,P是C上的一点,直线FP交直线y=-3于点Q.若⃗PQ=2⃗FP,则|PQ|=.能力提升14.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点为A,过双曲线的右焦点F2作x轴的垂线交C于点M,点M位于第一象限,若△AF2M为等腰直角三角形,则双曲线C的离心率为()A.❑√3B.2C.1+2❑√2D.2❑√2-115.设椭圆x2m2+y2n2=1,双曲线x2m2-y2n2=1(其中m>n>0)的离心率分别为e1,e2,则()A.e1·e2>1B.e1·e2<1C.e1·e2=1D.e1·e2与1大小不确定16.设F1,F2分别是椭圆x2+y2b2=1(00,b>0)的右焦点,过坐标原点的直线依次与双曲线的左、右支交于点P,Q,若|PQ|=2|QF|,∠PQF=60°,则该双曲线的离心率为()A.❑√3B.❑√3+1C.2+❑√3D.4+2❑√318.已知直线l过抛物线C:y2=4x的焦点,l与C交于A,B两点,过点A,B分别作C的切线,且交于点P,则点P的轨迹方程为.限时集训(十五)基础过关1.C[解析]由双曲线的方程y2a2-x29=1(a>0),可得其一条渐近线的方程为y=-a3x,所以-a3×13=-1,解得a=9,所以双曲线的实轴长为2a=18,故选C.2.B[解析]设点M(xM,yM),N(xN,yN).易知抛物线y2=4x的准线方程为x=-1.由|MF|+|NF|=6,可得xM+1+xN+1=6,即xM+xN=4,∴MN的中点的横坐标为xM+xN2=2,故选B.3.A[解析]设点P(xP,yP). S△F1PF2=12|F1F2|·|yP|,∴当P为短轴端点B时,△F1PF2的面积最大,此时∠OBF1=π3,又m>n>0,∴tanπ3=3❑√n,∴n=3,∴m=n+32=12,故选A.4.D[解析]设点A(x1,y1),B(x2,y2),则{y12=4x1,y22=4x2,两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2).因为AB的中点为(2,1),所以y1+y2=2,所以y1-y2x1-x2=4y1+y2=42=2,即直线l的斜率为2,由点斜式得直线l的方程为y-1=2(x-2),化简得y=2x-3,故选D.5.A[解析]由题得{2c=2❑√3a,|ab|❑√a2+b2=❑√2,c2=a2+b2,∴{a2=3,b2=6,∴双曲线的标准方程为x23-y26=1,故选A.6.A[解析]由题意得,双曲线的渐近线y=bax与圆(x-❑√3)2+(y-1)2=1相切,即圆心(❑√3,1)到直线y=bax的距离为1,则¿❑√3ba-1|❑√1+b2a2=1,解得b=❑√3a,则c2=a2+b2=...
