高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3-2.3.1 双曲线及其标准方程练习 新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学试题VIP专享VIP免费

2.3.1双曲线及其标准方程A级基础巩固一、选择题1．已知M(－2，0)、N(2，0)，|PM|－|PN|＝3，则动点P的轨迹是()A．双曲线B．双曲线左边一支C．双曲线右边一支D．一条射线解析：由双曲线的定义知动点P的轨迹是双曲线右支．答案：C2．设点P在双曲线－＝1上，若F1、F2为双曲线的两个焦点，且|PF1|∶|PF2|＝1∶3，则△F1PF2的周长等于()A．22B．16C．14D．12解析：由双曲线定义知|PF2|－|PF1|＝6，又|PF1|∶|PF2|＝1∶3，由两式得|PF1|＝3，|PF2|＝9，进而易得周长为22.答案：A3．平面内动点P(x，y)与A(－2，0)，B(2，0)两点连线的斜率之积为，动点P的轨迹方程为()A.＋y2＝1B.－y2＝1C.＋y2＝1(x≠±2)D.－y2＝1(x≠±2)解析：依题意有kPA·kPB＝，即·＝(x≠±2)，整理得－y2＝1(x≠±2)．答案：D4．若k∈R，则方程＋＝1表示焦点在x轴上的双曲线的充要条件是()A．－3＜k＜－2B．k＜－3C．k＜－3或k＞－2D．k＞－2解析：由题意可知，解得－3＜k＜－2.答案：A5．已知双曲线的两个焦点为F1(－，0)、F2(，0)，M是此双曲线上的一点，且满足MF1·MF2＝0，|MF1|·|MF2|＝2，则该双曲线的方程是()A.－y2＝1B．x2－＝1C.－＝1D.－＝1答案：A二、填空题6．已知椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则实数a＝________．解析：由双曲线－＝1可知a＞0，且焦点在x轴上．根据题意知4－a2＝a＋2，即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2(舍去)，故实数a＝1.答案：17．已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的1最小值为________．解析：设右焦点为F1，依题意，|PF|＝|PF1|＋4，所以|PF|＋|PA|＝|PF1|＋4＋|PA|＝|PF1|＋|PA|＋4≥|AF1|＋4＝5＋4＝9.答案：98．双曲线－＝1的一个焦点到中心的距离为3，那么m＝________．答案：7或－2三、解答题9．双曲线C与椭圆＋＝1有相同焦点，且经过点(，4)．(1)求双曲线C的方程；(2)若F1，F2是双曲线C的两个焦点，点P在双曲线C上，且∠F1PF2＝120°，求△F1PF2的面积．解：(1)椭圆的焦点为F1(0，－3)，F2(0，3)，设双曲线的方程为－＝1，则a2＋b2＝32＝9.①又双曲线经过点(，4)，所以－＝1，②解①②得a2＝4，b2＝5或a2＝36，b2＝－27(舍去)，所以所求双曲线C的方程为－＝1.(2)由双曲线C的方程，知a＝2，b＝，C＝3.设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则|m－n|＝2a＝4，平方得m2－2mn＋n2＝16.①在△F1PF2中，由余弦定理得(2c)2＝m2＋n2－2mncos120°＝m2＋n2＋mn＝36.②由①②得mn＝，所以△F1PF2的面积为S＝mnsin120°＝.10．如图，已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程．解：设动圆M的半径为r，则由已知得，|MC1|＝r＋，|MC2|＝r－，所以|MC1|－|MC2|＝2，又C1(－4，0)，C2(4，0)，所以|C1C2|＝8.所以2＜|C1C2|.根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1(－4，0)、C2(4，0)为焦点的双曲线的右支．因为a＝，c＝4，所以b2＝c2－a2＝14.所以点M的轨迹方程是－＝1(x≥)．B级能力提升1．已知方程(1＋k)x2－(1－k)y2＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围为()A．－1＜k＜1B．k＞1C．k＜－1D．k＞1或k＜－1答案：A2．已知曲线x2－y2＝1的两个焦点分别为F1、F2，P为双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，则|PF1|＋|PF2|＝________．2解析：由双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2，所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4.在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°即|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝(2)2＝8，所以|PF1|·|PF2|＝4.所以(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝(4＋2|PF1|·|PF2|)＋2|PF1|·|PF2|＝20.所以|PF1|＋|PF2|＝2答案：23．已知双曲线的方程为x2－＝1，如图，点A的坐标为(－，0)，B是圆x2＋(y－)2＝1上的点，点M在双曲线的右支上，求|MA|＋|MB|的最小值．解：设点D的坐标为(，0)，则点A，D是双曲线的焦点，由双曲线的定义，得|MA|－|MD|＝2a＝2.所以|MA|＋|MB|＝2＋|MB|＋|MD|≥2＋|BD|，又B是圆x2＋(y－)2＝1上的点，圆的圆心为C(0，)，半径为1，故|BD|≥|CD|－1＝－1，从而|MA|＋|MB|≥2＋|BD|≥＋1，当点M，B在线段CD上时取等号，即|MA|＋|MB|的最小值为＋1.3