高中数学 专题1.5 定积分的概念 1.6 微积分基本定理 1.7 定积分的简单应用试题 新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学试题VIP免费

1.5定积分的概念1.6微积分基本定理1.7定积分的简单应用1．定积分的概念一般地，如果函数()fx在区间[,]ab上连续，用分点011iinaxxxxxb将区间[,]ab等分成n个小区间，在每个小区间1[,]iixx上任取一点(1,2,,)iin，作和式11()()nniiiibafxfn（其中x为小区间长度），当n时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()fx在区间[,]ab上的定积分，记作________，即1()dlim()nbianibafxxfn．这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[,]ab叫做积分区间，函数()fx叫做被积函数，x叫做积分变量，()dfxx叫做被积式．2．定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[,]ab上函数()fx连续且恒有()0fx，那么定积分()dbafxx表示由直线,()xaxbab，0y和曲线()yfx所围成的__________．这就是定积分()dbafxx的几何意义．3．定积分的性质由定积分的定义，可以得到定积分的如下性质：①()d__________(bakfxxk为常数）；②1212[()()]d()d()dbbbaaafxfxxfxxfxx；1③()d()d()dbcbaacfxxfxxfxx（其中acb）．4．微积分基本定理一般地，如果()fx是区间[,]ab上的连续函数，并且()()Fxfx，那么___________．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式．为了方便，我们常常把()()FbFa记成()|baFx，即()d()|()()bbaafxxFxFbFa．微积分基本定理表明，计算定积分()dbafxx的关键是找到满足()()Fxfx的函数()Fx．通常，我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出()Fx．5．定积分在几何中的应用定积分在几何中的应用主要是计算由两条曲线所围图形的面积．由曲边梯形面积的求法，我们可以将求由两条曲线所围图形的面积问题转化为求两个曲边梯形的面积问题，进而用定积分求出面积．6．定积分在物理中的应用①变速直线运动的路程：我们知道，做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数()(()0)vvtvt在时间区间[,]ab上的定积分，即________s．②变力做功：一物体在恒力F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移动了s（单位：m），则力F所做的功为WFs．已知某物体在变力()Fx的作用下做直线运动，并且该物体沿着与()Fx相同的方向从xa移动到()xbba，求变力()Fx所做的功W，与求曲边梯形的面积及求变速直线运动的路程一样，可用“四步曲”解决，得到_________W．K知识参考答案：1．()dbafxx2．曲边梯形的面积3．()dbakfxx4．()d()()bafxxFbFa26．①()dbavtt②()dbaFxxK—重点定积分的几何意义，定积分的基本性质，运用微积分基本定理计算定积分，定积分的应用K—难点运用微积分基本定理计算定积分，用定积分求几何图形的面积K—易错运用微积分基本定理计算定积分时，弄错积分的上、下限利用定积分的几何意义计算定积分利用定积分所表示的意义求()dbafxx的值的关键是确定由曲线()yfx，直线xa，直线xb及x轴所围成的平面图形的形状．利用定积分的几何意义求π22π22()sinddcosxxfxxx，其中21,0()31,0xxfxxx．【答案】6．【解析】ππ20222ππ22022ddd()sincos(31)(21)sincosddfxxxxxxxxxxxx． sincosyxx为奇函数，∴π2π2sincosd0xxx．利用定积分的几何意义，如下图：∴0271(31)28d2xx，2031(21)122dxx，3故π22π22()sinco6ds820dfxxxxx．【名师点睛】（1）利用定积分的几何意义求解时，常见的平面图形的形状是三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形．（2）设函数()fx在闭区间[,]aa上连续，则若()fx是偶函数，则0()d2()daaafxxfxx；若()fx是奇函数，则()d0aafxx．利用微积分基本定理计算定积分求函数()fx在某个区间上的定积分时，要注意：（1）掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则，正确求解导数等于被积函数的函数．当这个函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解．具体方法是能化简的化简，不能化简的变为...