第二章2.3第1课时空间向量的标准正交分解与坐标表示及空间向量基本定理一、选择题1．已知向量a、b不共线，p＝ma＋nb，则p＝0的充要条件是()A．mn＝0B．m＝0且n＝0C．m＋n＝0D．m＝n[答案]B[解析] a、b不共线，p＝ma＋nb＝0，∴m＝0且n＝0.2．已知m＝a＋b，n＝2a＋2b(a、b不共线)，则m与n()A．共线B．不共线C．不共面D．以上都不对[答案]A[解析] n＝2m，∴m与n共线．3．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＋y等于()A．2B．－2C．1D．0[答案]D[解析] m与n共线，∴xa＋yb＋c＝z(a－b＋c)．∴∴∴x＋y＝0.4．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则D1B等于()A．a＋b＋cB．a＋b－cC．a－b－cD．－a＋b＋c[答案]C5．对空间一点O，若OP＝OA＋OB＋OC，则A、B、C、P四点()A．一定不共面B．一定共面C．不一定共面D．四点共线[答案]B[解析]OP＝OA＋OB＋OC，变形为8OP＝6OA＋OB＋OC，即6OP－6OA＝(OB－OP)＋(OC－OP)，整理得6AP＝PB＋PC，即AP＝PB＋PC，由向量共面定理知AP与PB、PC共面，即A、B、C、P四点一定共面．6．下列各命题中，正确的是()A．单位向量都相等B．若OP＝OA＋OB，则O、P、A、B共面C．若OP＝xOA＋yOB＋zOC，当x＋y＋z＝1时，四点P、A、B、C共线D．如果向量a、b、c不是共面向量，那么对于空间任意一个向量p均可用a、b、c表示，但表示方法是不唯一的[答案]B二、填空题7．设命题p：a、b、c是三个非零向量；命题q：{a，b，c}为空间的一个基底，则命题p是命题q的________________条件．[答案]必要不充分8．{a，b，c}构成空间中的一个基底，＝＝是p＝x1a＋y1b＋z1c与q＝x2a＋y2b＋z2c共线的__________________条件．[答案]充分不必要三、解答题9．如图所示，空间四边形OABC中，G、H分别是△ABC、△OBC的重心，设OA＝a，OB＝b，OC＝C．试用向量a、b、c表示向量OG和GH.[解析]设BC的中点为D． OG＝OA＋AG，而AG＝AD，AD＝OD－OA，OD＝(OB＋OC)，∴OG＝OA＋AD＝OA＋(OD－OA)＝OA＋×(OB＋OC)－OA＝OA＋OB＋OC＝a＋b＋C．而GH＝OH－OG，又OH＝OD＝×(OB＋OC)＝(b＋c)，∴GH＝(b＋c)－(a＋b＋c)＝－A．∴OG＝(a＋b＋c)，GH＝－A．10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，O为正方形ABCD的中心，试求向量OA1，AM的坐标．[解析]设正方体的棱长为1，如图，可设DA＝e1，DC＝e2，DD1＝e3，以e1，e2，e3为坐标向量建立空间直角坐标系D－xyz. OA1＝DA1－DO＝DA＋AA1－(DA＋DC)＝DA＋DD1－DA－DC＝e1－e2＋e3，∴OA1＝(，－，1)．又AM＝AD＋DM＝AD＋DD1＝－e1＋e3，∴AM＝(－1,0，)．综上：OA1＝(，－，1)，AM＝(－1,0，)．一、选择题1．长方体ABCD—A1B1C1D1中，若AB＝3i，AD＝2j，AA1＝5k，则AC1等于()A．i＋j＋kB．i＋j＋kC．3i＋2j＋5kD．3i＋2j－5k[答案]C[解析]令A点为坐标原点，建立如图的空间坐标系．由于AB＝3i，AD＝2j，AA1＝5k，则C1点的坐标为(3,2,5)，即AC1＝3i＋2j＋5k，故选C．2．三棱柱ABC—A1B1C1中，M、N分别BB1，AC的中点，设AB＝a，AC＝b，AA1＝c，则NM等于()A．(a＋b＋c)B．(a＋b－c)C．(a＋c)D．a＋(c－b)[答案]D[解析]因为NM＝NA＋AB＋BM＝－b＋a＋c，所以选D．3．已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，p＝a＋b，q＝a－b，一定可以与向量p，q构成空间的另一个基底的是()A．aB．bC．cD．无法确定[答案]C[解析] a＝p＋q，∴a与p、q共面， b＝p－q，∴b与p、q共面， 不存在λ、μ，使c＝λp＋μq，∴c与p、q不共面，故{c，p，q}可作为空间的一个基底，故选C．4．已知{e1，e2，e3}为空间的一个基底，若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，又d＝αa＋βb＋γc，则α、β、γ分别为()A．，－1，－B．，1，C．－，1，－D．，1，－[答案]A[解析]d＝αa＋βb＋γc＝α(e1＋e2＋e3)＋β(e1＋e2－e3)＋γ(e1－e2＋e3)＝(α＋β＋γ)e1＋(α＋β－γ)e2＋(α－β＋γ)e3.又因为d＝e1＋2e2＋3e3，所以有：解得二、填空题5．在直三棱柱ABO—A1B1O1中，∠AOB＝，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点，则在如图所示的空间直角坐标系中，DO的坐标是______________，A1B的坐标是__________...
