3.2.3空间的角的计算[基础达标]如图，四棱锥S–ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是__________．①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；③SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角；④AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角．解析：易证AC⊥平面SBD，因而AC⊥SB，①正确；AB∥DC，DC⊂平面SCD，故AB∥平面SCD，②正确；由于SA，SC与平面SBD的相对位置一样，因而所成的角相同．答案：④已知直线l1的一个方向向量为a＝(1，－2，1)，直线l2的一个方向向量为b＝(2，－2，0)，则两直线所成角的余弦值为__________．解析：cos〈a，b〉＝＝＝，所以两直线所成角的余弦值为.答案：若直线l的方向向量为a＝(－2，3，1)，平面α的一个法向量为n＝(4，0，1)，则直线l与平面α所成角的正弦值等于__________．解析：sinθ＝＝＝.答案：若一个锐二面角的两个半平面的法向量分别为m＝(0，0，3)，n＝(8，9，2)，则这个锐二面角的余弦值为__________．解析：cosθ＝＝＝.答案：如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成角的大小是________．解析：不妨设棱长为2，选择基向量{BA，BB1，BC}，则AB1＝BB1－BA，BM＝BC＋BB1，所以cos〈AB1，BM〉＝＝＝0，故异面直线AB1和BM所成角的大小是90°.答案：90°在一个二面角的两个面内各有一个与二面角的棱垂直的向量n1＝(0，－1，3)和n2＝(2，2，4)，则这个二面角的余弦值为__________．解析：由cos〈n1，n2〉＝＝，知这个二面角的余弦值为或－.答案：或－在平面直角坐标系中，已知A(2，3)，B(－2，－3)，沿x轴把直角坐标系折成平面角为θ的二面角A－Ox－B，使∠AOB＝90°，则cosθ等于__________．解析：过A、B分别作x轴垂线，垂足分别为A′、B′(图略)，则AA′＝3，BB′＝3，A′B′＝4，OA＝OB＝，折后，∠AOB＝90°，∴AB＝＝，由AB＝AA′＋A′B′＋B′B，得|AB|2＝|AA′|2＋|A′B′|2＋|B′B|2＋2|AA′|·|B′B|·cos(π－θ)．∴26＝9＋16＋9＋2×3×3×cos(π－θ)，∴cosθ＝.答案：在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，ABCD为正方形，且PD＝AB＝1，G为△ABC的重心，1则PG与底面ABCD所成角的正切值为__________．解析：连结BD，则G∈BD，由PD⊥面ABCD知∠PGD为所求角．因为PD＝AB＝1，G为△ABC重心，所以DG＝BD＝.因此tan∠PGD＝＝.答案：如图所示，有一长方形的纸片ABCD，长AB＝4cm，宽AD＝3cm，现沿它的一条对角线AC把它折叠成120°的二面角，求折叠后BD的长．解：作DE⊥AC，BF⊥AC，点E，F为垂足，则AC＝＝5cm，DE＝BF＝4×＝cm，AE＝CF＝＝cm，EF＝cm.折叠后，DE、EF、FB的长度保持不变，且|BD|2＝(BF＋FE＋ED)2＝|BF|2＋|FE|2＋|ED|2＋2BF·FE＋2BF·ED＋2FE·ED＝|BF|2＋|FE|2＋|DE|2＋2|BF||ED|cos60°＝()2＋()2＋()2＋2×()2×＝，∴BD＝cm，即折叠后BD的长为cm.如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a.(1)建立适当的空间直角坐标系，并写出点A，B，A1，C1的坐标；(2)求AC1与侧面ABB1A1所成的角．解：(1)如图所示，以点A为坐标原点，以AB所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴，以经过原点且与平面ABB1A1垂直的直线为x轴，建立空间直角坐标系．由已知得A(0，0，0)，B(0，a，0)，A1(0，0，a)，C1(－a，，a)．2(2)取A1B1的中点M，则M(0，，a)，连结AM，MC1，有MC1＝(－a，0，0)，且AB＝(0，a，0)，AA1＝(0，0,a)，∴MC1·AB＝0，MC1·AA1＝0，∴MC1⊥AB，MC1⊥AA1， AB∩AA1＝A，∴MC1⊥平面ABB1A1.∴AM与AC1所成角即为所求的角． AC1·AM＝0＋＋2a2＝a2，|AC1|＝＝a，|AM|＝＝a，∴cos〈AC1，AM〉＝＝，∴〈AC1，AM〉＝30°，即AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.[能力提升]如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M和N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值为__________．解析：以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系(图略)，则A(1，0，0)，M(1，，1)，C(0，1，0)，N(1，1，)，∴AM＝(0，，1)，CN＝(1，0，)．∴cos〈AM，CN〉＝＝＝.答案：如图，将等腰直角三角形ABC沿中位线DE将其折成60°的二面...
