高考数学 命题角度2.3 应用正弦定理和余弦定理求解三角形中的范围问题大题狂练 理-人教版高三全册数学试题VIP免费

命题角度2.3：应用正弦定理和余弦定理求解三角形中的范围问题1.已知函数.（Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）在△中，角的对边分别为，若为锐角且，，求的取值范围.【答案】(1),单调增区间（2）试题解析：（1）函数变形，即，令，解得，所以单调增区间（2），所以解得，又，在△中，，等边三角形时等号成立，所以，又因为是三角形所以，所以。2.已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）若，，是的三条边，且，边所对的角为弧度，求的最大值.【答案】(1)的最小正周期为;(2)时，的最大值为.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用二倍角的正弦、余弦公式及辅助角公式可将化为，从而可得结果；（Ⅱ）根据余弦定理以及基本不等式求得，结合正弦函数的图象与单调性可得结果.试题解析：（Ⅰ）因为，所以的最小正周期为.（Ⅱ）因为，所以.则，从而.因为，则.所以当，即时，的最大值为.3.已知，，分别为三个内角，，的对边，.（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若为锐角三角形，且，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ），【解析】试题分析：（Ⅰ）根据条件，由正弦定理可得化简可得，由此求得A的值．（Ⅱ）由正弦定理：，则讨论的范围，可得的取值范围.（Ⅱ）由正弦定理：，又，得，；所以，.4.在中，角、、所对的边分别是、、，已知，且.（1）当，时，求、的值；（2）若角为锐角，求的取值范围【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由正弦定理把已知等式化为即可利用已知条件解方程组.（2）当角为锐角可转化为，从而再由由可得所以..5.已知三个内角的对边为，，，，(Ⅰ)判断三角形的形状，并说明理由；(Ⅱ)若,试确定实数的取值范围.【答案】(Ⅰ)三角形ABC是直角三角形，理由见解析；(Ⅱ)。【解析】试题分析：(Ⅰ)利用题意结合正弦定理可得，所以三角形ABC是直角三角形；(Ⅱ)利用题意换元，结合对勾函数的性质可得实数的取值范围是.(Ⅱ)..令，∴. 在单调递增，∴，∴，,故的取值范围为.点睛：(1)应用公式时注意方程思想的应用，对于sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα可以知一求二．(2)关于sinα，cosα的齐次式，往往化为关于tanα的式子．6.中，角，，的对边分别为，，，已知点在直线上.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若为锐角三角形且满足，求实数的最小值.【答案】（1）（2）实数的最小值为2.【解析】试题分析：(1)利用题意结合余弦定理求得，故角的大小为；(2)切化弦整理可得，当且仅当即为正三角形时，实数的最小值为2.试题解析：解：（1）由条件可知，根据正弦定理得，又由余弦定理，故角的大小为；（2），当且仅当即为正三角形时，实数的最小值为2.7.设分别为三个内角的对边，若向量，且，．（1）求的值；（2）求的最小值（其中表示的面积）.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由；（2）.试题解析：（2） 与余弦定理，∴，在中， ，∴， ，∴，即当且仅当时，.【点晴】本题主要考查正余弦定理、向量的数量积和重要不等式，属于属于中档题型.但是本题使用重要不等式公式是比较容易犯错，使用该公式时一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件，如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双钩函数的图像，还应加强非定构定、不等作图这方面的训练，并注重表达的规范性，才能灵活应对这类题型.8.在中，角的对边分别为，并且.（1）若角成等差数列，求外接圆的半径；（2）若三边成等差数列，求内切圆半径的最大值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：(1)首先求得的值，然后利用正弦定理求解外接圆半径即可；(2)利用题意首先求得，然后确定或结合余弦定理和均值不等式确定求内切圆半径的最大值即可.方法一： ∴（取等号）∴所以（时取等号）∴（时取等，即三角形为正三角形时）方法二： ，∴∴∴∴9.在中，内角的对边分别是，满足．（1）求角的值；（2）若且，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.试题解析：（1）由已知得化简得,故．因为，所以，（2）由正弦定理故因为，所以，所以．10.在中，角，，所对应的边分别为，，，.（1）求证：；（2）若，为锐角，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）....