6个解答题综合仿真练(六)1.如图，在四棱锥EABCD中，平面EAB⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，EA⊥EB，点M，N分别是AE，CD的中点．求证：(1)MN∥平面EBC；(2)EA⊥平面EBC.证明：(1)取BE中点F，连结CF，MF，又M是AE的中点，所以MF綊AB.又N是矩形ABCD边CD的中点，所以NC綊AB，所以MF綊NC，所以四边形MNCF是平行四边形，所以MN∥CF.又MN⊄平面EBC，CF⊂平面EBC，所以MN∥平面EBC.(2)在矩形ABCD中，BC⊥AB，又平面EAB⊥平面ABCD，平面ABCD∩平面EAB＝AB，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面EAB.又EA⊂平面EAB，所以BC⊥EA.又EA⊥EB，BC∩EB＝B，EB⊂平面EBC，BC⊂平面EBC，所以EA⊥平面EBC.2.如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角α，β的顶点为坐标原点O，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O的交点分别为P，Q.已知点P的横坐标为，点Q的纵坐标为.(1)求cos2α的值；(2)求2α－β的值．解：(1)因为点P的横坐标为，点P在单位圆上，α为锐角，所以cosα＝，所以cos2α＝2cos2α－1＝.(2)因为点Q的纵坐标为，点Q在单位圆上，所以sinβ＝.又β为锐角，所以cosβ＝.因为cosα＝，且α为锐角，所以sinα＝，因此sin2α＝2sinαcosα＝，所以sin(2α－β)＝×－×＝.因为α为锐角，所以0<2α<π.又cos2α>0，所以0<2α<，又β为锐角，所以－<2α－β<，所以2α－β＝.3．某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度，拟制定年医疗总费用在2万元至10万元(包括2万元和10万元)的报销方案，该方案要求同时具备下列三个条件：①报销的医疗费用y(万元)随医疗总费用x(万元)增加而增加；②报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%；③报销的医疗费用不得超过8万元．(1)请你分析该单位能否采用函数模型y＝0.05(x2＋4x＋8)作为报销方案；(2)若该单位决定采用函数模型y＝x－2lnx＋a(a为常数)作为报销方案，请你确定整数a的值．(参考数据：ln2≈0.69，ln10≈2.3)解：(1)y＝0.05(x2＋4x＋8)在[2,10]上是增函数，满足条件①；当x＝10时，y有最大值7.4，小于8，满足条件③；但当x＝3时，y＝<，即y≥不恒成立，不满足条件②，故该函数模型不符合该单位报销方案．(2)对于函数模型y＝x－2lnx＋a，设f(x)＝x－2lnx＋a，则f′(x)＝1－＝≥0.所以f(x)在[2,10]上是增函数，满足条件①.由条件②得x－2lnx＋a≥，即a≥2lnx－在x∈[2,10]上恒成立．令g(x)＝2lnx－，则g′(x)＝－＝，由g′(x)>0，得2≤x<4；由g′(x)<0，得4b>0)的左顶点A(－2,0)，且点在椭圆上，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点．过点A作斜率为k(k>0)的直线交椭圆E于另一点B，直线BF2交椭圆E于点C.(1)求椭圆E的标准方程；(2)若△CF1F2为等腰三角形，求点B的坐标；(3)若F1C⊥AB，求k的值．解：(1)由题意得解得∴椭圆E的标准方程为＋＝1.(2) △CF1F2为等腰三角形，且k>0，∴点C在x轴下方，若F1C＝F2C，则C(0，－)；若F1F2＝CF2，则CF2＝2，∴C(0，－)；若F1C＝F1F2，则CF1＝2，∴C(0，－)，∴C(0，－)．∴直线BC的方程y＝(x－1)，由得或∴B.(3)设直线AB的方程为y＝k(x＋2)，由消去y，得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－12＝0，∴xA·xB＝－2xB＝，∴xB＝，∴yB＝k(xB＋2)＝，∴B.若k＝，则B，∴C， F1(－1,0)，∴kCF1＝－，∴F1C与AB不垂直；∴k≠， F2(1,0)，kBF2＝，kCF1＝－，∴直线BF2的方程为y＝(x－1)，直线CF1的方程为y＝－(x＋1)，由解得∴C(8k2－1，－8k)．由点C在椭圆上，得＋＝1，即(24k2－1)(8k2＋9)＝0，即k2＝， k>0，∴k＝.5．数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝4－an.(1)求证：数列{an}为等比数列，并求通项公式an；(2)是否存在自然数c和k，使得＞1成立？若存在，请求出c和k的值；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：当n＝1时，S1＋a1＝4，得a1＝2,由Sn＝4－an，①得Sn＋1＝4－an＋1，②②－①得，Sn＋1－Sn＝an－an＋1，即an＋1＝an,所...
