5.1直线间的夹角5.2平面间的夹角课后训练案巩固提升A组1.已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面的夹角为()A.45°B.135°C.45°或135°D.90°解析:本题考查利用平面的法向量求两平面夹角的方法.cos
=,即=45°,∴两平面的夹角为45°.答案:A2.已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱BB1,DC的中点,则异面直线AE与D1F的夹角为()A.B.C.D.解析:设正方体的棱长为2,建立如图所示的空间直角坐标系,则D1(0,0,0),A(2,0,2),E(2,2,1),F(0,1,2).∴=(0,2,-1),=(0,1,2),∴=0,∴.答案:D3.如图,在三棱锥S-ABC中,侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形,∠BAC=90°,O为BC的中点,则平面ASC与平面BSC的夹角的余弦值是()A.-B.C.-D.解法一取SC的中点M,1连接AM,OM,OA,由题意知SO=OC,SA=AC,得OM⊥SC,AM⊥SC.所以∠OMA为平面ASC与平面BSC的夹角.由AO⊥BC,AO⊥SO,SO∩BC=O,得AO⊥平面SBC.所以AO⊥OM.又AM=SA,AO=SA,故sin∠AMO=,cos∠AMO=.故平面ASC与平面BSC的夹角的余弦值为.解法二连接OA,由题易知AO,BO,SO两两垂直,则以O为坐标原点,射线OB,OA,OS分别为x轴、y轴、z轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.取SC的中点M,连接AM,OM,设B(1,0,0),则C(-1,0,0),A(0,1,0),S(0,0,1).SC的中点M,所以=(-1,0,-1),所以=0,=0.故MO⊥SC,MA⊥SC,<>等于二面角A-SC-B的平面角.cos<>=,所以平面ASC与平面BSC的夹角的余弦值为.答案:B4.把正方形ABCD沿对角线AC翻折,使平面ACD⊥平面ABC,点E,F分别是AD,BC的中点,O是正方形的中心,则折起后,直线OE与OF的夹角的大小是()A.B.C.D.解析:如图,建立空间直角坐标系,设正方形的边长为2.2则F,E,∴,∴cos∠EOF=cos<>==-,设直线OE与OF的夹角为θ,则cosθ=|cos∠EOF|=,即θ=.故直线OE与OF的夹角为.答案:A5.在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,则平面SCD和平面SAB夹角的余弦值是.解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),D,C(1,1,0),S(0,0,1),平面SAB的一个法向量是.设n=(x,y,z)是平面SCD的法向量,则n⊥,n⊥,即n·=0,n·=0.又,∴x+y=0,且-x+z=0,令x=1,得n=.∴cos<,n>=.故平面SCD和平面SAB的夹角的余弦值为.答案:36.正方体ABCD-A1B1C1D1中,B1D与BC1夹角的大小是,若E,F分别为AB,CC1的中点,则异面直线EF与A1C1夹角的大小是.解析:以点D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则易得D(0,0,0),B(2,2,0),B1(2,2,2),C1(0,2,2),A1(2,0,2),E(2,1,0),F(0,2,1),所以=(-2,0,2),=(-2,-2,-2).因为=0,所以B1D与BC1夹角的大小是90°.又=(-2,2,0),=(-2,1,1),设异面直线EF与A1C1夹角为θ,则cosθ=,所以θ=30°.答案:90°30°7.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都是1,且∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=,E,F分别为A1B1与BB1的中点,求异面直线BE与CF夹角的余弦值.解如图,设=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|=1,===.∴a·b=b·c=a·c=.而=-a+c,=-b+c,∴||=,||=.∴=a·b-a·c-b·c+c2=.4cos<>=.∴异面直线BE与CF的夹角的余弦值为.8.导学号90074040如图,在三棱锥P-ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC.(1)求证:PC⊥AB;(2)求平面ABP与平面APC夹角的余弦值.(1)证明 AC=BC,AP=BP,∴△APC≌△BPC.又PC⊥AC,∴PC⊥BC. AC∩BC=C,∴PC⊥平面ABC. AB⫋平面ABC,∴PC⊥AB.(2)解如图,以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz,则C(0,0,0),A(0,2,0),B(2,0,0).设P(0,0,t). PB=AB=2,∴t=2,∴点P的坐标为(0,0,2).=(-2,2,0),=(-2,0,2),设平面ABP的法向量n=(x,y,z),则令x=1,则n=(1,1,1).由题易知平面APC的法向量m=(1,0,0),cosn,m=.∴平面ABP与平面APC的夹角的余弦值为.5B组1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点,则sin<>的值等于()A.B.C.D.解析:如图,以D为原点建立空间直角坐标系.设棱长为1,则D(0,0,0),B1(1,1,1),C(0,1,0),M,∴=(1,1,1),.∴cos<>=.∴sin<>=.答案:B2.如图,已知E,F分别是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC,CC1的中点,则截面AEFD1与底面ABCD所成的夹角的正弦值为()A.B.C.D.解析:以D为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示,6则A(1,0,0),E,D1(0,0,1),∴=(-1,0,1),.设平面AEFD1的法向量...
