3．2一元二次不等式1．一般地，含有一个未知数，且未知数的最高次数为二次的整式不等式，叫做一元二次不等式．2．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则一元二次方程f(x)＝0的解集，就是使二次函数值等于0时自变量x的取值的集合．3．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则一元二次不等式f(x)＞0的解集，就是使二次函数值大于0时自变量x的取值的集合．4．若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴无交点，则说明方程f(x)＝0无实数解，此时，一元二次方程的判别式的值Δ＜0.5．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)判别式的值Δ＜0，则说明二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴没有交点，若a＞0，则意味着不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是全体实数，不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是空集．6．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)判别式的值Δ＞0，则说明二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴有两个交点(x1，0)，(x2，0)，设x1＜x2，若a＞0，则使y＝f(x)的函数值为负值的自变量x的取值的集合为{x|x1＜x＜x2}，此集合即为不等式ax2＋bx＋c＜0的解集．7．若ax2＋bx＋c≥0的解集是空集，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，且与x轴没有交点．8．若ax2＋bx＋c＞0的解集是实数集R，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，且二次三项式的判别式Δ＜0.9．应用不等式解实际问题的步骤：①建立数学模型；②设变量；③建立数学关系式；④解不等式；⑤检验．10．周长为l的矩形的面积的最大值为，对角线长的最小值为l．11．b克糖水中含有a克糖(b＞a＞0)，糖水的浓度为，若再加入m克糖，则糖水更甜了，此时糖水的浓度为．12．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)判别式的值Δ＝0，则说明二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴相切于；若a＞0，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是∪，不等式ax2＋bx＋c≤0的解集是．13．若函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)与x轴有两个交点，要求出不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)的解集，只要求出方程ax2＋bx＋c＝0的根即可．14．若一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}，则可以判定a＞0，方程1ax2＋bx＋c＝0的根分别为x1、x2．►基础巩固一、选择题1．不等式2x2－x－1＞0的解集是(D)A.B．(1，＋∞)C．(－∞，1)∪(2，＋∞)D.∪(1，＋∞)解析： 2x2－x－1＞0⇔(2x＋1)(x－1)＞0⇔x＜－或x＞1.2．下列命题中正确的是(B)A．不等式x2＞1的解集是{x|x＞±1}B．不等式－4＋4x－4x2≤0的解集是RC．不等式－4＋4x－x2≥0的解集是空集D．不等式x2－2ax－a－＞0的解集是R解析：结合三个二次的关系．3．不等式≤0的解集为(A)A.B.C.∪[1，＋∞)D.∪[1，＋∞)解析：≤0⇔⇒－＜x≤1.4．不等式(x－1)(x－3)＞0的解集为(C)A．{x|x＜1}B．{x|x＞3}C．{x|x＜1或x＞3}D．{x|1＜x＜3}解析：结合图象求解．5．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)＜0的实数x的取值范围是(B)A．(0，2)B．(－2，1)C．(－1，2)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：根据定义，x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＜0，解得－2＜x＜1.二、填空题26．(2013·广东卷)不等式x2＋x－2＜0的解集为________．解析：由x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)＜0得－2＜x＜1.答案：(－2，1)7．已知关于x的不等式x2－ax＋2a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：x2－ax＋2a＞0恒成立⇔Δ＜0，即a2－4×2a＜0，解得0＜a＜8.答案：(0，8)8．不等式＞0的解集是________．解析：原不等式可化为＞0，利用穿根法，易得－3＜x＜2或x＞3.答案：(－3，2)∪(3，＋∞)三、解答题9．求函数y＝lg(x2－2x－3)＋的定义域．解析：依题意可得∴∴不等式组的解是－2＜x＜－1或3＜x＜5.∴函数的定义域为(－2，－1)∪(3，5)．10．解不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0)．解析：原不等式可化为：(ax－1)(x－1)＜0(a＞0)．①当0＜a＜1时，原不等式的解集为②当a＞1时，原不等式的解集为；③当a＝1时，原不等式的解集为∅.►能力升级一、选择题11．(2013·安徽卷)已知一元二次不等式f(x)＜0的解集为，则f(10x)＞0的解集为(D)A．{x|x＜－1或x＞lg2}B．{x|－1＜x＜lg2}C．{x|x＞－lg2}D．{x|x＜－lg2}解析：由题意得－1＜10x...
