课时分层作业(八)二项式系数的性质、杨辉三角和二项式定理的应用(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x项的系数是()A．5B．20C．10D．40C[根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32，则有2n＝32，可得n＝5，Tr＋1＝Cx2(5－r)·x－r＝Cx10－3r，令10－3r＝1，解得r＝3，所以展开式中含x项的系数是C＝10，故选C.]2．设(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a0＋a2＋a4＋…＋a2n等于()A．2nB.C．2n＋1D.D[令x＝1，得3n＝a0＋a1＋a2＋…＋a2n－1＋a2n，①令x＝－1，得1＝a0－a1＋a2－…－a2n－1＋a2n，②①＋②得3n＋1＝2(a0＋a2＋…＋a2n)，∴a0＋a2＋…＋a2n＝.故选D.]3．若9n＋C·9n－1＋…＋C·9＋C是11的倍数，则自然数n为()A．奇数B．偶数C．3的倍数D．被3除余1的数A[9n＋C·9n－1＋…＋C·9＋C＝(9n＋1＋C9n＋…＋C92＋C9＋C)－＝(9＋1)n＋1－＝(10n＋1－1)是11的倍数，∴n＋1为偶数，∴n为奇数．]4．已知(1＋2x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则的值为()A.B.C.D.A[a＝C＝70，设b＝C2r，则得5≤r≤6，所以b＝C26＝C26＝7×28，所以＝.故选A.]5．在(x－)2020的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x＝时，S等于()A．23029B．－23029C．23030D．－23030B[因为S＝，当x＝时，S＝－＝－23029.]二、填空题6．在的展开式中，中间项是________．－160x3[由n＝6知中间一项是第4项，因T4＝C(2x2)3·＝C·(－1)3·23·x3，所以T4＝－160x3.]7．若n是正整数，则7n＋7n－1C＋7n－2C＋…＋7C除以9的余数是________．7或0[7n＋7n－1C＋7n－2C＋…＋7C＝(7＋1)n－C＝8n－1＝(9－1)n－1＝C9n(－1)0＋C9n－1(－1)1＋…＋C90(－1)n－1，∴n为偶数时，余数为0；当n为奇数时，余数为7.]8．在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图所示．那么，在“杨辉三角”中，第________行会出现三个相邻的数，其比为3∶4∶5.162[根据题意，设所求的行数为n，则存在正整数k，使得连续三项C，C，C，有＝且＝.化简得＝，＝，联立解得k＝27，n＝62.故第62行会出现满足条件的三个相邻的数．]三、解答题9．已知二项式(1－x)10.(1)展开式的中间项是第几项？写出这一项；(2)求展开式中各二项式系数之和；(3)求展开式中除常数项外，其余各项的系数和．[解](1)展开式共11项，中间项为第6项，T6＝C(－x)5＝－252x5；(2)C＋C＋C＋…＋C＝210＝1024.(3)设(1－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝0，令x＝0，得a0＝1，∴a1＋a2＋…＋a10＝－1.10．已知的展开式中前三项的二项式系数的和等于37.求展开式中二项式系数最大的项的系数．[解]由C＋C＋C＝37，得1＋n＋n(n－1)＝37，解得n＝8.的展开式共有9项，其中T5＝C(2x)4＝x4，该项的二项式系数最大，系数为.11．若Cx＋Cx2＋…＋Cxn能被7整除，则x，n的值可能为()A．x＝4，n＝3B．x＝4，n＝4C．x＝5，n＝4D．x＝6，n＝5C[Cx＋Cx2＋…＋Cxn＝(1＋x)n－1，分别将选项A、B、C、D代入检验知，仅C适合．]12．(多选题)关于下列(a－b)10的说法，正确的是()A．展开式中的二项式系数之和是1024B．展开式的第6项的二项式系数最大C．展开式的第5项或第7项的二项式系数最大D．展开式中第6项的系数最小ABD[由二项式系数的性质知C＋C＋C＋…＋C＝210＝1024，故A正确．二项式系数最大的项为C，是展开式的第6项，故B正确．由展开式的通项为Tk＋1＝Ca10－k(－b)k＝(－1)kCa10－kbk知，第6项的系数－C最小，故D正确．]13．(2x－1)10展开式中x的奇次幂项的系数之和为________．[因为(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，2再令x＝－1，得310＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a10，两式相减，可得a1＋a3＋…＋a9＝.]14．(一题两空)如图所示，满足如下条件：①第n行首尾两数均为n；②表中的递推关系类似“杨辉三角”．则第10行的第2个数是________，第n行的第2个数是________．1223434774511141156162525166……46[由图表可知第10行的第2个数为：(1＋2＋3＋…＋9)＋1＝46，第n行的第2个数为：[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋1＝＋1＝....
