专题46数列数列的通项3（构造法）【考点讲解】一、具本目标：掌握用不同的数学方法求不同形式数列的通项公式.通过数列通项公式的求解过程,利用数列的变化规律,恰当选择方法,是数列的研究和探索奠定基础.二、知识概述：1.数列的通项公式：（1）如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．即,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式.（2）数列的前项和和通项的关系：.2.求数列的通项公式的注意事项：（1）根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用或来调整．（2）根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．由不完全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证.（3）对于数列的通项公式要掌握：①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式.3.数列通项一般有三种类型：（1）已知数列是等差或等比数列，求通项，破解方法：公式法或待定系数法；（2）已知Sn，求通项，破解方法：利用Sn-Sn-1=an，但要注意分类讨论，本例的求解中检验必不可少，值得重视；（3）已知数列的递推公式，求通项，破解方法：猜想证明法或构造法。3.已知数列的前项和，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：(1)先利用求出；(2)用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式；(3)对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写．【注】该公式主要是用来求数列的通项，求数列通项时，一定要分两步讨论，结果能并则并，不并则分.4.递推公式推导通项公式方法：（1）叠加法：叠加法（或累加法）：已知，求数列通项公式常用叠加法（或累加法）即.（2）累乘法：已知求数列通项公式用累乘法.（3）待定系数法：（其中均为常数，）解法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解.（4）待定系数法：（其中均为常数，）.（或,其中均为常数）.解法：在原递推公式两边同除以，得：，令，得：，再按第（3）种情况求解.（5）待定系数法：解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列.3.数列满足a=1，a=a+1（n≥2），求数列{a}的通项公式。4.已知数列满足a1＝1，an＝2an－1＋n－2(n≥2)，求的通项公式。【解析】法一：由已知可得：an＋n＝2(an－1＋n－1)(n≥2).令bn＝an＋n，则b1＝a1＋1＝2，且bn＝2bn－1(n≥2).于是bn＝2·2n－1＝2n，即an＋n＝2n故an＝2n－n(n≥2)，因为a1＝1也适合上述式子，所以an＝2n－n(n≥1).法二：由an＝2an－1＋n－2(n≥2)可得，整理得：，所以有，所以，即有an＋n＝2(an－1＋n－1)(n≥2令bn＝an＋n，则b1＝a1＋1＝2，且bn＝2bn－1(n≥2).于是bn＝2·2n－1＝2n，即an＋n＝2n故an＝2n－n(n≥2)，因为a1＝1也适合上述式子，所以an＝2n－n(n≥1).5.已知数列中，求的通项公式.【解析】，可得，所以可得，是以2为首项，2为公比的等比数列.6.数列满足a=1，,求数列{a}的通项公式。7.已知数列中，=2，=，求的通项公式.【解析】构造新数列，使之成为的等比数列整理得：.使之满足已知条件∴解得.∴是首项为，公比的等比数列，由此得=∴=.8.在数列中，，=，求数列的通项【解析】法一：构造新数列，使之成为的等比数列，则=整理得：=满足=，即得∴新数列的首项为，的等比数列∴∴
