（江苏专用）高考数学大一轮复习 第八章 第47课 基本不等式及其应用（一）要点导学-人教版高三全册数学试题VIP免费

【南方凤凰台】（江苏专用）2016届高考数学大一轮复习第八章第47课基本不等式及其应用（一）要点导学要点导学各个击破利用基本不等式证明已知a>0,b>0,c>0,求证:bca+cab+abc≥a+b+c.[思维引导]先局部运用基本不等式,再利用不等式的性质相加得到.[证明]因为a>0,b>0,c>0,所以bca+cab≥2·bccaab=2c(当且仅当a=b时取等号);bca+abc≥2·bcabac=2b(当且仅当a=c时取等号);cab+abc≥2·caabbc=2a(当且仅当b=c时取等号).以上三式相加得2bccaababc≥2(a+b+c)(当且仅当a=b=c时取等号),即bca+cab+abc≥a+b+c.[精要点评]利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况,证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题.已知a>0,b>0,a+b=1,求证:1111ab≥9.[证明]因为a>0,b>0,a+b=1,所以1+1a=1+aba=2+ba.同理,1+1b=2+ab.所以1111ab=2ba·2ab=5+2baab≥5+4=9,当且仅当a=b=12时等号成立.1利用基本不等式求函数的最值(2014·重庆卷)若log4(3a+4b)=log2ab,求a+b的最小值.[思维引导]基本不等式的应用一定要注意一正、二定、三相等,特别是等号成立的条件.[解答]由题意知ab>0,且3a+4b>0,所以a>0,b>0.又log4(3a+4b)=log2ab,所以3a+4b=ab,所以4a+3b=1.所以a+b=(a+b)43ab=7+4ba+3ab≥7+243·baab=7+43,当且仅当4ba=3ab,即a=4+23,b=3+23时,等号成立.故a+b的最小值为7+43.[精要点评]一正、二定、三相等不满足时,相应的处理方法分别是一正不满足则变为正,二定不满足则凑定值,三相等不满足则转化为函数的单调性.(2014·北京东城区期末)求函数y=x+1-x的最大值.[解答]因为函数y=x+1-x的定义域为[0,1],所以y2=x+(1-x)+2(1-)xx=1+2(1-)xx≤1+[x+(1-x)]=2,当且仅当x=1-x,即x=12时等号成立.因为y>0,所以ymax=2.利用基本不等式解决恒成立问题(2014·河南中原名校联考)已知x>0,y>0,若2yx+8xy>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是.[答案](-4,2)[解析]因为2yx+8xy≥216=8,要使2yx+8xy>m2+2m恒成立,则m2+2m<8,解得-40,y>0,k≤2242xyxy=2(2)-42xyxy=(x+2y)-42xy,令m=x+2y,则k≤4-minmm.因为m=x+2y≥22xy=22,且y=m-4m在[22,+∞)上单调递增,所以当m=22时,4-minmm=22-422=2,即k≤2.方法二:令t=x+2y,t≥22,因此t2-kt-4≥0对t∈[22,+∞)恒成立,记f(t)=t2-kt-4,则f(22)=4-22k≥0k≤2.某地区的农产品A第x天(1≤x≤20)的销售价格p=50-|x-6|(单位:元∕百斤),一农户在第x天(1≤x≤20)农产品A的销售量q=40+|x-8|(单位:百斤).(1)求该农户在第7天销售农产品A的收入;(2)这20天中该农户在哪一天的销售收入最大?[规范答题](1)由已知得第7天的销售价格p=49,销售量q=41.所以第7天的销售收入W7=49×41=2009(元).(3分)(2)设第x天的销售收入为Wx,则Wx=(44)(48-),16,2009,7,(56-)(32),820.xxxxxxx(6分)当1≤x≤6时,Wx=(44+x)(48-x)≤2(44)(48-)2xx=2116(当且仅当x=2时取等号).所以当x=2时取最大值W2=2116.(9分)当8≤x≤20时,Wx=(56-x)(32+x)≤2(56-)(32)2xx=1936(当且仅当x=12时取等号).3所以当x=12时取最大值W12=1936.(12分)由于W2>W7>W12,所以第2天该农户的销售收入最大.(13分)答:第7天的销售收入为2009元;第2天该农户的销售收入最大.(14分)1.若x>0,则x+2x的最小值为.[答案]22[解析]因为x>0x+2x≥22,当且仅当x=2xx=2时,取等号.2.已知正实数a,b满足a+2b=1,那么a2+4b2+1ab的最小值为.[答案]172[解析]因为1=a+2b≥22abab≤18,当且仅当a=2b=12时取等号.又因为a2+4b2+1ab≥2a·(2b)+1ab=4ab+1ab.令t=ab,所以f(t)=4t+1t在10,8上单调递减,所以f...