高中数学 黄金100题系列 第64题 空间垂直关系的证明 文-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第64题空间垂直关系的证明I．题源探究·黄金母题【例1】如图，在正方体中，求证：（1）平面；（2）与平面的交点是的重心（三角形三条中线的交点）．【解析】（1）连接，，又⊥面，∴， ，∴⊥面，因此．同理可证：，∴平面．（2）连接，由，得．∴点为的外心.又是正三角形，∴点为的中心，也为的重心．II．考场精彩·真题回放【例2】【2017课标1文18】如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，，且四棱锥P-ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】分析：（1）由，，得平面；（2）设，则四棱锥的体积，解得，可得所求侧面积．解析：（1）由已知，得，．由于，故，从而平面．又平面，所以平面平面．（2）在平面内作，垂足为．由（1）知，平面，故，可得平面．设，则由已知可得，．故四棱锥的体积．由题设得，故．从而，，．可得四棱锥的侧面积为【点睛】证明面面垂直，先由线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直；先利用线面平行说明点面距为定值，计算点面距时，如直接求不方便，应首先想到转化，如平行转化、对称转化、比例转化等，找到方便求值时再计算，可以减少运算量，提高准确度，求点到平面的距离有时能直接作出就直接求出，不方便直接求出的看成三棱锥的高，利用等体积法求出．【例3】【2017课标3文19】如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．（1）证明：AC⊥BD；（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．【答案】（1）详见解析；（2）1【解析】分析：（1）取中点，由等腰三角形及等比三角形性质得，，再根据线面垂直判定定理得平面，即得AC⊥BD；（2）先由AE⊥EC，结合平几知识确定，再根据锥体体积公式得，两者体积比为1:1.解析：（1）证明：取中点，连 ，为中点，∴，又 是等边三角形，∴，又 ，∴平面，平面，∴.（2）设，∴，，又 ，∴，∴，∴，又 ，，∴，在中，设，根据余弦定理解得，∴点是的中点，则，∴.【例4】【2016年全国Ⅱ卷】如图，菱形的对角线与交于点，点、分别在，上，，交于点，将沿折到的位置.（1）证明：；（2）若，，求五棱锥体积.【解析】（1）由已知得，．又由得，故．由此得，所以．（2）由得由得，所以，于是故．由（Ⅰ）知，又，所以平面于是．又由，所以，平面．又由得．五边形的面积为，所以五棱锥体积为．【例5】【2015重庆高考】如图，三棱锥中，平面平面，，点在线段上，且，，点在线段上，且.（Ⅰ）证明：AB平面PFE；（Ⅱ）若四棱锥P-DFBC的体积为7，求线段BC的长．【解析】（1）如图.由知，为等腰中边的中点，故，又平面平面，平面平面，平面，，所以平面，从而.因.从而与平面内两条相交直线，都垂直，所以平面.（2）设,则在直角中，.从而由，知，得,故，即.由，＝＝＝,从而四边形的面积为由（1）知，平面，所以为四棱锥的高.在直角中，，体积，故得，解得，由于，可得，所以或．【例6】【2015全国新课标Ⅰ卷】如图四边形为菱形，为与交点，平面．（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）若，三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积.【解析】（Ⅰ）因为四边形为菱形，所以，因为平面，所以，故平面．又平面，所以平面平面．（Ⅱ）设，在菱形中，由，可得，.因为，所以在中，可得.由平面，知为直角三角形，可得.由已知得，三棱锥的体积，故=2从而可得.所以的面积为3，的面积与面积均为，故三棱锥的侧面积为.精彩解读【试题来源】人教版A版必修二第79页复习参考题B组第2题．【母题评析】本题是以正方体为载体考查空间直线与平面的垂直关系，这种题型能充分考查学生的逻辑思维能力与空间想象能力，以及综合分析与解决问题的能力．这在高考中常常出现在解答题的第1小题位置．【思路方法】两平面垂直问题常转化为直线与直线垂直，而直线与平面或垂直又可转化为直线与直线垂直，所以在解题时应注意“转化思想”的运用。这种转化实质上就是将“高维问题”转化为“低维问题”，将“空间问题”转化为“平面问题”．【命题意图】本类题主要考查空间空间直线、平面间的垂直关系...