[74分]解答题标准练(一)1．(2018·浙江省金丽衢十二校联考)已知函数f(x)＝sin＋sin＋cosx.(1)求f(x)的最小正周期；(2)在△ABC中，f(A)＝，△ABC的面积为，AB＝2，求BC的长．解(1)由题意得f(x)＝2sin，∴函数f(x)的最小正周期T＝2π.(2)由f(A)＝2sin＝，得A＝或A＝.当A＝时， △ABC的面积S＝AB×AC×sinA＝，∴AC＝2. BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA＝(2)2＋22－2×2×2cos＝4，∴BC＝2.当A＝时， △ABC的面积S＝AB×AC＝，∴AC＝1. BC2＝12＋(2)2＝13，∴BC＝.综上，BC的长为2或.2．(2018·浙江省重点中学联考)在等腰梯形ABCD中(如图1)，AB＝4，BC＝CD＝DA＝2，F为线段CD的中点，E，M为线段AB上的点，AE＝EM＝1，现将四边形AEFD沿EF折起(如图2)．(1)求证：AM∥平面BCD；(2)在图2中，若BD＝，求直线CD与平面BCFE所成角的正弦值．(1)证明连接CM. EM∥FC且EM＝FC＝1，∴四边形EFCM为平行四边形，∴EF∥CM且EF＝CM.同理可证四边形EFDA为平行四边形，∴EF∥AD且EF＝AD，∴CM∥AD且CM＝AD，∴四边形ADCM为平行四边形，∴AM∥DC，又 DC⊂平面BCD，AM⊄平面BCD，∴AM∥平面BCD.(2)解过点D作DH⊥EF于点H，连接BH，CH.在Rt△DFH中，易知∠DFH＝60°，DF＝1，∴DH＝，FH＝，在△BEH中，EH＝EF－FH＝，易知∠HEB＝60°，又 EB＝3，∴BH2＝2＋32－2××3cos60°＝，在△BDH中，DH＝，BH＝，BD＝，∴DH2＋BH2＝BD2，∴DH⊥BH，又 DH⊥EF，且BH∩EF＝H，BH，EF⊂平面BCFE，∴DH⊥平面BCFE，∴CH为CD在平面BCFE内的射影，∴∠DCH为CD与平面BCFE所成的角，在△FCH中，易知∠CFH＝120°.∴CH＝＝，∴在Rt△CDH中，CD＝＝，∴sin∠DCH＝＝，即CD与平面BCFE所成角的正弦值为.3．(2018·浙江省杭州二中月考)已知函数f(x)＝x2＋lnx(a∈R)．(1)当a＝1时，求证：函数存在唯一的零点；(2)在(1，＋∞)上，函数f(x)的图象恒在直线y＝2ax的下方，求实数a的取值范围．(1)证明当a＝1时，f(x)＝x2＋lnx，f′(x)＝x＋>0(x>0)，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f＝－1<0，f(e)＝1＋>0，故f(x)在(0，＋∞)上存在唯一零点．(2)解令g(x)＝f(x)－2ax＝x2－2ax＋lnx，则g(x)的定义域为(0，＋∞)．在区间(1，＋∞)上，函数f(x)的图象恒在直线y＝2ax的下方等价于g(x)<0在区间(1，＋∞)上恒成立． g′(x)＝(2a－1)x－2a＋＝＝，①若a>，令g′(x)＝0得极值点，x1＝1，x2＝，当x2>x1＝1，即
0，此时g(x)在区间(x2，＋∞)上是增函数，并且在该区间上有g(x)∈(g(x2)，＋∞)，不合题意；当x2≤x1＝1，即a≥1时，同理可知，g(x)在区间(1，＋∞)上，有g(x)∈(g(1)，＋∞)，不合题意．②若a≤，则有2a－1≤0，此时在区间(1，＋∞)上恒有g′(x)<0，从而g(x)在区间(1，＋∞)上是减函数，要使g(x)<0在此区间上恒成立，只须满足g(1)＝－a－≤0，即a≥－.∴a的取值范围是.4．(2018·浙江省名校协作体联考)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，且抛物线C在点P(1，f(1))处的切线斜率为，直线l与抛物线交于不同的两点A，B，且直线AP垂直于直线BP.(1)求证：直线l过定点，并求出定点坐标；(2)若直线BP交y轴于点M，直线AP交x轴于点N，且kBM>，求的最大值．(1)证明由y＝，得y′＝x.当x＝1时，得＝，∴p＝2，∴抛物线的方程为x2＝4y.设A(2t1，t)，t1≠，B(2t2，t)，t2≠， AP⊥BP，P，∴kAP·kBP＝·＝－1，化简得t1t2＋(t1＋t2)＋＝0，(*)又 kAB＝＝，∴直线AB的方程为y－t＝(x－2t1)，即2y＝(t1＋t2)x－2t1t2，将(*)式代入AB的方程，得(t1＋t2)(x＋1)＋－2y＝0，令x＋1＝0，－2y＝0，解得x＝－1，y＝，直线AB过定点.(2)解由题意设直线BM的斜率为k，k>.则直线BM的方程为y－＝k(x－1)，联立得x2－4kx＋4k－1＝0，Δ＝16k2－16k＋4>0，得k≠，利用根与系数的关系，得xB＋xP＝4k，∴xB＝4k－1，由于AP⊥BP，同理可得xA＝－－1，易得xN＝＋1，xM＝0， k>，∴|AP||BP|＝(|xP－xA|)·(|xB－xP|)＝(4k－2)＝，|MP||NP|＝(|xP－xM|)·(|xN－xP|)＝，∴＝×＝＝16＝－322＋50≤50，当k＝时，等号成立．∴的最大值为50.5．(2018·浙江教育绿色评价联盟适应性考试)已知正项数列{an}满足0
