高考数学总复习 4.7 正弦定理、余弦定理演练提升同步测评 文 新人教B版-新人教B版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

4.7正弦定理、余弦定理A组专项基础训练(时间：35分钟)1．(2016·山东)△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知b＝c，a2＝2b2(1－sinA)．则A＝()A.B.C.D.【解析】由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝2b2－2b2cosA，所以2b2(1－sinA)＝2b2(1－cosA)，所以sinA＝cosA，即tanA＝1，又0＜A＜π，所以A＝.【答案】C2．(2017·甘肃定西模拟)在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则cosC的最小值为()A.B.C.D．－【解析】因为a2＋b2＝2c2，所以由余弦定理可知，c2＝2abcosC，cosC＝＝×≥×＝.故选C.【答案】C3．(2017·河南实验中学模拟)在△ABC中，a＝2，A＝45°，若此三角形有两解，则b的范围为()A．2＜b＜2B．b＞2C．b＜2D.＜b＜【解析】 在△ABC中，a＝2，A＝45°，且此三角形有两解，∴由正弦定理＝＝2，得b＝2sinB，B＋C＝180°－45°＝135°，由B有两个值，得到这两个值互补，若B≤45°，则和B互补的角B′≥135°，这样A＋B′≥180°，不成立，∴45°＜B＜135°.又若B＝90°，这样补角也是90°，一解，∴＜sinB＜1，∴2＜b＜2，故选A.【答案】A4．(2017·辽宁沈阳模拟)在△ABC中，已知∠A∶∠B＝1∶2，角C的平分线CD把三角形面积分为4∶3两部分，则cosA＝()A.B.C.D.【解析】 ∠A∶∠B＝1∶2，即B＝2A，∴B＞A，∴AC＞BC. 角平分线CD把三角形面积分成4∶3两部分，∴由角平分线定理得BC∶AC＝BD∶AD＝3∶4，∴由正弦定理＝得＝，整理得＝＝，则cosA＝.故选B.【答案】B5．(2017·云南玉溪一中月考)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若cosB＝，a＝10，△ABC的面积为42，则b＋的值等于()A.B．16C．8D．16【解析】 cosB＝，B为三角形内角，∴sinB＝＝. a＝10，△ABC的面积为42，∴acsinB＝42，即3c＝42，解得c＝14，∴由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝100＋196－224＝72，即b＝6.再由正弦定理可得＝＝＝10，∴b＋＝16，故选B.【答案】B6．(2017·福建莆田二十五中月考)若△ABC的周长等于20，面积是10，A＝60°，则a＝________．【解析】 A＝60°，∴S△ABC＝bcsinA＝10，即bc＝10，解得bc＝40.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得a2＝(b＋c)2－3bc＝(b＋c)2－120， △ABC的周长a＋b＋c＝20，∴b＋c＝20－a，得a2＝(20－a)2－120，解得a＝7.【答案】77．(2016·北京)在△ABC中，∠A＝，a＝c，则＝________．【解析】在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bc·cosA，将∠A＝，a＝c代入，可得(c)2＝b2＋c2－2bc·，整理得2c2＝b2＋bc. c≠0，∴等式两边同时除以c2，得2＝＋，即2＝＋.令t＝(t＞0)，有2＝t2＋t，即t2＋t－2＝0，解得t＝1或t＝－2(舍去)，故＝1.【答案】18．(2017·甘肃张掖二模)设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c且acosB－bcosA＝c，则的值为________．【解析】由acosB－bcosA＝c及正弦定理可得sinAcosB－sinBcosA＝sinC，即sinAcosB－sinBcosA＝sin(A＋B)，即5(sinAcosB－sinBcosA)＝3(sinAcosB＋sinBcosA)即sinAcosB＝4sinBcosA，因此tanA＝4tanB，所以＝4.【答案】49．(2016·浙江)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acosB.(1)证明：A＝2B；(2)若cosB＝，求cosC的值．【解析】(1)证明由正弦定理得sinB＋sinC＝2sinAcosB，故2sinAcosB＝sinB＋sin(A＋B)＝sinB＋sinAcosB＋cosAsinB，于是sinB＝sin(A－B)．因为A，B∈(0，π)，所以0＜A－B＜π，所以B＝π－(A－B)或B＝A－B.因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.(2)由cosB＝得sinB＝，cos2B＝2cos2B－1＝－，故cosA＝－，sinA＝，cosC＝－cos(A＋B)＝－cosAcosB＋sinAsinB＝.10．(2016·湖北宜昌调研)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝asinC－ccosA.(1)求A；(2)若a＝1，△ABC的面积为，求b，c.【解析】(1)由已知结合正弦定理，得sinC＝sinAsinC－sinCcosA. sinC≠0，∴1＝sinA－cosA＝2sin，即sin＝.又 A∈(0，π)，∴A－∈，∴A－＝，∴A＝.(2)S＝bcsinA，即＝bc·，∴bc＝1.①又 a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－2bc－2bccos，即1＝(b＋c)2－3，且b，c为正数，∴b＋c＝2.②由①②两式，解得b＝c＝1.B组专项能力提升(时间：20分钟)11．(...