课时跟踪检测（二十一）平面向量数量积的坐标表示一、基本能力达标1．设向量a＝(x,1)，b＝(4，x)，且a⊥b，则x的值是()A．±2B．0C．－2D．2解析：选B由a⊥b，得a·b＝0，即4x＋x＝0，解得x＝0，故选B.2．已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝()A．－12B．－6C．6D．12解析：选D2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，∴10＋2－k＝0，解得k＝12.3．已知向量a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8,16)，则a与b夹角的余弦值为()A.B．－C．±D.解析：选B由a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8,16)得a＝(－3,4)，b＝(5，－12)，所以cos〈a，b〉＝＝＝－，故选B.4．平行四边形ABCD中，＝(1,0)，＝(2,2)，则·等于()A．4B．－4C．2D．－2解析：选A在平行四边形ABCD中，＝＝－＝(2,2)－(1,0)＝(1,2)，＝－＝(1,2)－(1,0)＝(0,2)，所以·＝(1,2)·(0,2)＝4.5．已知a＝(2,1)，b＝(－1，－1)，c＝a＋kb，d＝a＋b，c与d的夹角为，则实数k的值为________．解析：c＝a＋kb＝(2－k,1－k)，d＝a＋b＝(1,0)，由cos＝，得＝，∴(2－k)2＝(k－1)2，∴k＝.答案：6．设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于________．解析：由a∥b，则2×(－2)－1·y＝0，解得y＝－4，从而3a＋b＝(1,2)，|3a＋b|＝.答案：7．向量a＝(3,4)在向量b＝(1，－1)方向上的投影为________．解析：a在b上的投影为＝＝－.答案：－8．已知向量a＝(1，)，2a＋b＝(－1，)，a与2a＋b的夹角为θ，则θ＝________.解析：∵a＝(1，)，2a＋b＝(－1，)，∴|a|＝2，|2a＋b|＝2，a·(2a＋b)＝2，∴cosθ＝＝，∴θ＝.答案：9．设向量a＝(2,4)，b＝(m，－1)．(1)若a⊥b，求实数m的值；(2)若a∥b，求实数m的值；(3)若|a＋b|＝5，求实数m的值．解：(1)由a⊥b得a·b＝2m＋4×(－1)＝0，解得m＝2.(2)由a∥b得4m＝2×(－1)，解得m＝－.(3)a＋b＝(2＋m,3)，所以|a＋b|＝＝5，解得m＝2或m＝－6.10．已知向量a＝(，－1)和b＝(1，)，若a·c＝b·c，试求模为的向量c的坐标．解：设c＝(x，y)，则a·c＝(，－1)·(x，y)＝x－y，b·c＝(1，)·(x，y)＝x＋y，由a·c＝b·c及|c|＝，得解得或所以c＝或c＝.二、综合能力提升1．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝()A.B.C.D.解析：选D设c＝(x，y)，则c＋a＝(1＋x,2＋y)，a＋b＝(3，－1)，由已知可得解得即c＝.2．△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，AC＝1，设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R，若·＝－2，则λ＝()A.B.C.D．2解析：选A以点A为坐标原点，为x轴的正方向，为y轴的正方向，建立平面直角坐标系，由题意知B(2，0)，C(0,1)，P(2λ，0)，Q(0,1－λ)，则＝(－2,1－λ)，＝(2λ，－1)，∵·＝－2，∴－2×2λ＋(1－λ)×(－1)＝－2，解得λ＝，故选A.3．已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k的值为()A．－B．0C．3D.解析：选C∵2a－3b＝(2k－3，－6)．又(2a－3b)⊥c，∴(2a－3b)·c＝0，即(2k－3)×2＋(－6)＝0，解得k＝3.4．已知i与j为互相垂直的单位向量，a＝i－2j，b＝i＋λj且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是()A．(－∞，－2)∪B.C.∪D.解析：选A设i＝(1,0)，j＝(0,1)，求λ的取值范围需满足：a·b＞0，且a，b不共线．由a·b＞0⇒(1，－2)·(1，λ)＝1－2λ＞0⇒λ＜.当a，b共线时，λ＝－2，因此λ∈(－∞，－2)∪.5．已知a＝(－1,3)，b＝(1，t)，若(a－2b)⊥a，则|b|＝________.解析：∵a＝(－1,3)，b＝(1，t)，∴a－2b＝(－3,3－2t)．∵(a－2b)⊥a，∴(a－2b)·a＝0，即(－3)×(－1)＋3(3－2t)＝0，解得t＝2，∴b＝(1,2)，∴|b|＝＝.答案：6．已知点A(4,0)，B(0,3)，OC⊥AB于点C，O为坐标原点，则·＝________.解析：设点C的坐标为(x，y)，∵OC⊥AB于点C，∴即解得∴·＝4x＝.答案：7．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,4)，B(－2,3)，C(2，－1)．(1)求·及|＋|；(2)设实数t满足(－t)⊥，求t的值．解：(1)∵＝(－3，－1)，＝(1，－5)，∴·＝－3×1＋(－1)×(－5)＝2.∵＋＝(－2，－6)，∴|＋|＝＝2.(2)∵－t＝(－3－2t，－1＋t)，＝(2，－1)，且(－t)⊥，∴(－t)·＝0，∴(－3－2t)×2＋(－1＋t)·(－1)＝0，∴t＝－1.8．在Rt△ABC中，CA＝CB＝3，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN＝，求·的取值范围．解：记MN的中点为E，则有＋＝2，·＝[(＋)2－(－)2]＝2－2＝2－.又||的最小值等于点C到AB的距离，即，故·的最小值为2－＝4.当点M(或N)与点A(或B)重合时，||达到最大，||的最大值为＝，因此·的取值范围是[4,6]．
