2.5曲线与方程[A基础达标]1．命题甲：动点P到两定点A、B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a>0，常数)；命题乙：P点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分又不必要条件解析：选B.利用椭圆定义．若P点轨迹是椭圆，则一定有|PA|＋|PB|＝2a(a>0，常数)．所以甲是乙的必要条件．反过来，若|PA|＋|PB|＝2a(a>0，常数)是不能推出P点轨迹是椭圆的．这是因为：仅当2a>|AB|时，P点轨迹才是椭圆；而当2a＝|AB|时，P点轨迹是线段AB；当2a<|AB|时，P点无轨迹．所以甲不是乙的充分条件．2．已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2，1)()A．在直线l上，但不在曲线C上B．在直线l上，也在曲线C上C．不在直线l上，也不在曲线C上D．不在直线l上，但在曲线C上解析：选B.将x＝2，y＝1代入直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2的方程均成立，故点M(2，1)在直线l上，也在曲线C上．故选B.3．方程x2＋2y2＋2x－2y＋＝0表示的曲线是()A．一个点B．一条直线C．一个圆D．两条线段解析：选A.方程可化为(x＋1)2＋2(y－)2＝0，所以即，它表示点(－1，)．故选A.4．已知分别过点A(－1，0)和点B(1，0)的两条直线相交于点P，若两直线的斜率之积为－1，则动点P的轨迹方程是()A．x2＋y2＝1B．x2＋y2＝1(x≠±1)C．x2＋y2＝1(x≠0)D．y＝解析：选B.设P(x，y)，则由题意得·＝－1，化简得x2＋y2＝1(x≠±1)．5．已知点P是直线x－2y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1，2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则点Q的轨迹方程是()A．x＋2y＋3＝0B．x－2y－5＝0C．x－2y－7＝0D．x－2y＋7＝0解析：选D.设P(x0，y0)，则x0－2y0＋3＝0(*)．又设Q(x，y)，由|PM|＝|MQ|，知点M是线段PQ的中点，则，即(**)．将(**)代入(*)，得(－2－x)－2(4－y)＋3＝0，即x－2y＋7＝0.故选D.16．若曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)(a∈R)，则k的取值范围为________．解析：因为曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)，所以a2＋a2＋2a＋k＝0.所以k＝－2a2－2a＝－2＋.所以k≤，所以k的取值范围是.答案：7．若等腰三角形底边的两个顶点是B(2，1)，C(0，－3)，则另一顶点A的轨迹方程是________．解析：由题意，知另一顶点A在边BC的垂直平分线上．又BC的中点为(1，－1)，边BC所在直线的斜率kBC＝＝2，所以边BC的垂直平分线的斜率为－，垂直平分线的方程为y＋1＝－(x－1)，即x＋2y＋1＝0.又顶点A不在边BC上，所以x≠1.故另一顶点A的轨迹方程是x＋2y＋1＝0(x≠1)．答案：x＋2y＋1＝0(x≠1)8．方程|x－1|＋|y－1|＝1表示的曲线所围成的图形的面积是________．解析：方程|x－1|＋|y－1|＝1可写成或或或，其图形如图所示，它是边长为的正方形，其面积为2.答案：29．已知曲线C的方程为x＝，说明曲线C是什么样的曲线，并求该曲线与y轴围成的图形的面积．解：由x＝，得x2＋y2＝4.又x≥0，所以方程x＝表示的曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆，从而该曲线C与y轴围成的图形是半圆，其面积S＝π·4＝2π.所以所求图形的面积为2π.10．等腰三角形ABC中，若一腰的两个端点分别为A(4，2)，B(－2，0)，A为顶点，求另一腰的一个端点C的轨迹方程．解：设点C的坐标为(x，y)，因为△ABC为等腰三角形，且A为顶点．所以|AB|＝|AC|.又因为|AB|＝＝2，所以|AC|＝＝2.所以(x－4)2＋(y－2)2＝40.又因为点C不能与B重合，也不能使A、B、C三点共线．所以x≠－2且x≠10.所以点C的轨迹方程为(x－4)2＋(y－2)2＝40(x≠－2且x≠10)．[B能力提升]11．a、b为任意实数，若点(a，b)在曲线f(x，y)＝0上，则点(b，a)也在曲线f(x，y)＝02上，那么曲线f(x，y)＝0的几何特征是()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线y＝x对称解析：选D.由于点(a，b)和(b，a)关于直线y＝x对称，所以f(x，y)＝0表示的曲线关于直线y＝x对称，故选D.12．已知圆C的方程为x2＋y2＝4，过圆C上的一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量OQ＝OM＋ON，则动点Q的轨迹为__________．解析：设点Q的坐标为(x，y)，点M的坐标为(x0，y0)(y0≠0)，则点N的坐标为(0，y0)．因为OQ＝OM＋ON，即(x，y)＝(x0，y0...
