回扣验收特训（二）圆锥曲线与方程1．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是()A．2B．C．D．解析：选C由题可知y＝x与y＝－x互相垂直，可得－·＝－1，则a＝b．由离心率的计算公式，可得e2＝＝＝2，e＝．2．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为()A．y2＝±4xB．y2＝±8xC．y2＝4xD．y2＝8x解析：选B由题可知抛物线的焦点坐标为，于是过焦点且斜率为2的直线的方程为y＝2，令x＝0，可得点A的坐标为，所以S△OAF＝××＝4，得a＝±8，故抛物线的方程为y2＝±8x．3．已知一动圆P与圆O：x2＋y2＝1外切，而与圆C：x2＋y2－6x＋8＝0内切，则动圆的圆心P的轨迹是()A．双曲线的一支B．椭圆C．抛物线D．圆解析：选A由题意，知圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝1，则圆C与圆O相离，设动圆P的半径为R． 圆P与圆O外切而与圆C内切，∴R>1，且|PO|＝R＋1，|PC|＝R－1．又|OC|＝3，∴|PO|－|PC|＝2<|OC|，即点P在以O，C为焦点的双曲线的右支上．4．我们把由半椭圆＋＝1(x≥0)与半椭圆＋＝1(x<0)合成的曲线称作“果圆”(其中a2＝b2＋c2，a>b>c>0)，如图所示，其中点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点．若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为()A．，1B．，1C．5,3D．5,4解析：选A |OF2|＝＝，|OF0|＝c＝|OF2|＝，∴b＝1，∴a2＝b2＋c2＝1＋＝，得a＝．5．已知抛物线的方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋4＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为()A．＋2B．＋1C．－2D．－1解析：选D因为抛物线的方程为y2＝4x，所以焦点坐标为F(1,0)，准线方程为x＝－1．因为点P到y轴的距离为d1，所以到准线的距离为d1＋1．又d1＋1＝|PF|，所以d1＋d2＝d1＋1＋d2－1＝|PF|＋d2－1．焦点F到直线l的距离记为d，则d＝＝＝，而|PF|＋d2≥d＝，所以d1＋d2＝|PF|＋d2－1≥－1，即d1＋d2的最小值为－1．6．双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线方程为()A．y2－3x2＝36B．x2－3y2＝36C．3y2－x2＝36D．3x2－y2＝36解析：选A由4x2＋y2＝64得＋＝1，c2＝64－16＝48，∴c＝4，e＝＝．∴双曲线中，c′＝4，e′＝＝．∴a′＝c′＝6，b′2＝48－36＝12．1∴双曲线方程为－＝1，即y2－3x2＝36．7．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，其上一点P(3，y)到两焦点的距离分别是6．5和3．5，则该椭圆的标准方程为________．解析：由椭圆的定义，知2a＝6．5＋3．5＝10，a＝5．又解得c＝，从而b2＝a2－c2＝，所以椭圆的标准方程为＋＝1．答案：＋＝18．已知直线l与抛物线y2＝4x交于A，B两点，O为坐标原点，若OA�·OB�＝－4，则直线l恒过的定点M的坐标是________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＋y1y2＝－4．当直线l的斜率不存在时，设其方程为x＝x0(x0>0)，则x－4x0＝－4，解得x0＝2；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋b，由得ky2－4y＋4b＝0，得y1y2＝，则x1x2＝＝，得＋＝－4，∴＝－2，有b＝－2k，直线y＝kx－2k＝k(x－2)恒过定点(2,0)．又直线x＝2也恒过定点(2,0)，得点M的坐标为(2,0)．答案：(2,0)9．已知A(0，－4)，B(3,2)，抛物线y2＝x上的点到直线AB的最短距离为________．解析：直线AB为2x－y－4＝0，设抛物线y2＝x上的点P(t，t2)，d＝＝＝≥＝．答案：10．如图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的长、短轴端点分别为A，B，F1，F2分别是其左、右焦点．从椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，且AB�与OM�是共线向量．(1)求椭圆的离心率e；(2)设Q是椭圆上异于左、右顶点的任意一点，求∠F1QF2的取值范围．解：(1) F1(－c,0)，则xM＝－c，yM＝，∴kOM＝－．由题意，知kAB＝－， OM�与AB�是共线向量，∴－＝－，∴b＝c，得e＝．(2)设|F1Q|＝r1，|F2Q|＝r2，∠F1QF2＝θ，∴r1＋r2＝2a．又|F1F2|＝2c，由余弦定理，得cosθ＝＝＝－1≥－1＝0，当且仅当r1＝r2时等号成立，∴cosθ≥0，∴θ∈．11．如图，焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A，B，且AB�与n＝(，－1)共线．(1)求椭圆E的标准方程；(2)若直线y＝kx＋m与椭圆E有两个不同...
