重庆市永川中学高二数学第12周第2次小题单（期望与方差）1.已知X～B(n，p)，E(X)＝2，D(X)＝1.6，则n，p的值分别为()．A．100，0.8B．20，0.4C．10，0.2D．10，0.8解析由题意可得解得q＝0.8，p＝0.2，n＝10.答案C2.甲、乙两人对同一目标各射击一次，甲命中目标的概率为，乙命中目标的概率为，设命中目标的人数为X，则D(X)等于()．A.B.C.D.解析X取0，1，2，P(X＝0)＝×＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，∴E(X)＝，D(X)＝.答案A3．若随机变量ξ的分布列如下：ξ01xPp且E(ξ)＝1.1，则D(ξ)＝________．解析由分布列性质得p＝1－＝，E(ξ)＝0×＋1×＋x×＝1.1，解得x＝2，∴D(ξ)＝(0－1.1)2×＋(1－1.1)2×＋(2－1.1)2×＝0.49.答案0.494.一次数学测验有25道选择题构成，每道选择题有4个选项，其中有且只有一个选项正确，每选一个正确答案得4分，不作出选择或选错的不得分，满分100分，某学生选对任一题1的概率为0.8，则此学生在这一次测试中的成绩的期望为________；方差为________．解析记ξ表示该学生答对题的个数，η表示该学生的得分，则η＝4ξ，依题意知：ξ～B(25，0.8)．所以E(ξ)＝25×0.8＝20，D(ξ)＝25×0.8×0.2＝4，所以E(η)＝E(4ξ)＝4E(ξ)＝4×20＝80，D(η)＝D(4ξ)＝42D(ξ)＝16×4＝64.答案80645.数字1，2，3，4，5任意排成一列，如果数字k恰好在第k个位置上，则称有一个巧合，(1)求巧合数ξ的分布列．(2)求巧合数ξ的期望与方差．解(1)ξ可能取值为0，1，2，3，5，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝5)＝，ξ01235P(2)E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋5×＝1D(ξ)＝1×＋0＋1×＋4×＋16×＝1.6．设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如表所示：ξ－101P1－2qq2试求E(ξ)、D(ξ)．2解由于离散型随机变量的分布列满足：(1)pi≥0(i＝1，2，…)；(2)p1＋p2＋…＝1.故解之得q＝1－.故ξ的分布列为：ξ－101P－1－∴E(ξ)＝(－1)×＋0×＋1×＝1－，D(ξ)＝[－1－(1－)]2×＋×＋[1－(1－)]2×＝－1.7.设在12件同类型的零件中有2件次品，抽取3次进行检验，每次抽取1件，并且取出后不再放回，若以ξ和η分别表示取到的次品数和正品数．(1)求ξ的分布列、均值和方差；(2)求η的分布列、均值和方差．解(1)ξ的可能取值为0，1，2，ξ＝0表示没有取出次品，故P(ξ＝0)＝＝.ξ＝1表示取出的3个产品中恰有1个次品，所以p(ξ＝1)＝＝.同理P(ξ＝2)＝＝.所以，ξ的分布列为ξ012PE(ξ)＝0×＋1×＋2×＝，D(ξ)＝×＋×＋×＝.(2)η的取值可以是1，2，3，且有ξ＋η＝3.3∴P(η＝1)＝P(ξ＝2)＝，P(η＝2)＝P(ξ＝1)＝，P(η＝3)＝P(ξ＝0)＝，所以，η的分布列为η123PE(η)＝E(3－ξ)＝3－E(ξ)＝3－＝，D(η)＝D(3－ξ)＝(－1)2×D(ξ)＝.8.小王在某社交网络的朋友圈中，向在线的甲、乙、丙随机发放红包，每次发放1个.（Ⅰ）若小王发放5元的红包2个，求甲恰得1个的概率；（Ⅱ）若小王发放3个红包，其中5元的2个，10元的1个.记乙所得红包的总钱数为X，求X的分布列和期望.（1）49；（2）分布列详见解析，203EX.本题主要考查二项分布、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，意在考查考生的分析问题解决问题的能力、运算求解能力.第一问，发放一次红包，每个人得到的概率为13，两次中，其中一次得到，一次没得到，所以12124()339PAC；第二问，先写出X的所有可能值，当0X时，说明5元的2个和10元的1个都没有得到，当5X时，说明5元的2个红包得到了1个，10元的没有得到，当10X时，说明5元的2个得到了，10元的没有得到，或者5元的2个都没有得到，10元的得到了，当15X时，5元的2个红包得到了1个，10元的得到了，当20X时，说明5元的2个都得到了，10元的1个也得到了，分别利用二项分布和独立事件求出概率，最后利用1122nnEXxpxpxp求出数学期望.试题解析：（Ⅰ）设“甲恰得一个红包”为事件A，12124()339PAC．（Ⅱ）X的所有可能值为0，5，10，15，20.2228(0)()3327PX，122128(5)()3327PXC，2212216(10)()()333327PX，122124(15)()3327PXC，4311(20)()327PX．X的分布列：X05101520P827827627427127E(X)＝0×827＋5×827＋10×627＋15×427＋20×127＝203．考点：二项分布、离散型随机变量的分布列和数学期望.5
