高中数学 第一讲 坐标系 一 平面直角坐标系成长训练 新人教A版选修4-4-新人教A版高二选修4-4数学试题VIP免费

一平面直角坐标系主动成长夯基达标1.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换,3,5yyxx后，曲线C变为曲线2x＇2+8y＇2=1，则曲线C的方程为()A.50x2+72y2=1B.9x2+100y2=1C.25x2+36y2=1D.19825222yx解析:将yyxx3,5代入曲线方程2x′2+8y′2=1,得2·(5x)2+8·(3y)2=1,即50x2+72y2=1.答案:A2.将曲线x2+y2=1伸缩变换为19422yx的伸缩变换公式为()A.yyxx32B.yyxx23C.yyxx3121D.yyxx2131解析:设伸缩变换为.0,,0,yyxx代入9422yx=1得942222yx=1与x2+y2=1比较,得λ2=4,μ2=9.∴λ=2,μ=3.答案:A13.在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换yyxx31,21后的图形.(1)5x+2y=0;(2)x2+y2=1.解:(1)由伸缩变换yyxx3121得到.3,2yyxx①将①代入5x+2y=0,得到经过伸缩变换后的图形的方程是5x′+3y′=0.经过伸缩变换0,,0,kyyxx后,直线仍然变成直线.(2)将①代入x2+y2=1,得到经过伸缩变换后的图形的方程是914122yx=1.经过伸缩变换后,圆可以变成椭圆.4.在同一平面直角坐标系中，将曲线x2-36y2-8x+12=0变成曲线x＇2-y＇2-4x＇+3=0，求满足图象变换的伸缩变换.解:设伸缩变换为0,,0,yyxx将其代入方程x′2-y′2-4x′+3=0得λ2x2-μ2y2-4λx+3=0.与方程x2-36y2-8x+12=0比较系数得.1238436122∴λ=21,μ=3.∴伸缩变换为x′=.3,21yyxx5.△ABC中，若BC的长度为4，中线AD的长为3，则A点的轨迹方程是________.解析:取B、C所在直线为x轴,线段BC的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系,则B(-2,0),C(2,0).设A(x,y),则D(0,0),|AD|=3.∴x2+y2=9(y≠0).答案:x2+y2=9(y≠0)6.在气象台A正西方向300千米处有一台风中心,它以每小时40千米的速度向东北方向移动,距台风中心250千米以内的地方都要受其影响.问:从现在起,大约多长时间后,气象台A所在地将遭受台风影响持续多长时间?解析:本题的解决如果从题意上考虑,较难入手解决,我们可以考虑通过建立平面直角坐标系2来解决.解:如图所示,以气象台为坐标原点,正东方向为x轴正方向,建立直角坐标系.则现在台风中心B的坐标为(-300,0).根据题意,可知,t小时后,B1的坐标为(-300+40tcos45°,40tsin45°),即(-300+202t,202t),因为以台风中心为圆心,以250千米为半径的圆上或圆内的点将遭受台风影响,所以B1在圆上或圆内时,气象台将受台风影响.所以令|AB1|≤250,即(-300+202t)2+(202t)2≤2502,整理得16t2-1202t+275≤0.解得,475715475215T1.99≤t≤8.61.故大约2小时后,气象台A所在地将遭受台风影响,大约持续6个半小时.7.如图,已知A、B、C是直线m上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O＇切直线m于点A，又过B、C作⊙O＇异于m的两切线，切点分别为D、E，设两切线交于点P，（1）求点P的轨迹方程;（2）经过点C的直线l与点P的轨迹交于M、N两点，且点C分MN所成的比等于2∶3，求直线l的方程.解析:先根据圆切线的定义,可得到点P的轨迹是椭圆,然后建立适当的坐标系求出点P的轨迹方程来；根据定比分点坐标公式,找出相关点的坐标来,列出方程组求出点M、N的坐标,从而求出直线方程.解:（1） |PE|=|PD|,|BD|=|BA|,|CE|=|CA|,∴|PB|+|PC|=|PD|+|DB|+|CE|-|PE|=|BD|+|CE|=|AB|+|CA|=18＞6=|BC|,∴P点轨迹是以B、C为焦点,长轴长等于18的椭圆.以B、C两点所在直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,则可设椭圆的方程是2222byax=1(a＞b＞0). a=9,c=3,∴b2=72.3∴P点的轨迹方程是728122yx=1(y≠0).（2）设M(x1,y1)、N(x2,y2), C(3,0)分MN所成的比为32,由①②消去y2,得811(5-32x2)2+94(1-8122x)=1,解得x2=-3,y2=±8,即N(-3,±8).∴由C、N可得直线的方程是4x+3y-12=0或4x-3y-12=0.8.如右图,某隧道设计为双向四车道，车道总宽22m，要求通行车辆限高4.5m，隧道全长2.5km，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.（1）若最大...