山东省济宁市高考数学专题复习 第22讲 简单的三角恒等变换练习 新人教A版-新人教A版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第六节简单的三角恒等变换[考情展望]1.利用和、差、倍角公式进行三角函数恒等变形，进而研究三角函数的性质问题.2.与三角函数的图象、性质相结合综合考查学生分析问题和解决问题的能力．一、二倍角公式的变形1．用cosα表示sin2，cos2，tan2sin2＝，cos2＝，tan2＝.2．用sinα，cosα表示tantan＝＝.应用二倍角公式的变形求值的注意问题(1)已知sinα，cosα的值求tan时，应优先采用tan＝或tan＝，这样可以避免由“tan＝±”带来增解．(2)应用“sin＝±”或“cos＝±”求值时，可由所在象限确定该三角函数值的符号．二、辅助角公式asinα＋bcosα＝sin(α＋φ).1．辅助角公式的特殊情况(1)sinα±cosα＝sin；(2)sinα±cosα＝2sin；(3)cosα±sinα＝2sin.2．辅助角公式的作用(1)利用该公式可将形如y＝asinx＋bcosx的函数转化为形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数，进而研究函数的性质．(2)若函数y＝asinx＋bcosx的定义域为R，则值域为[－，]．1．已知cosθ＝－，＜θ＜3π，那么sin＝()A.B．－C.D．－【解析】 ＜θ＜3π，∴＜＜.∴sin＝－＝－＝－.【答案】D2．已知cosα＝，α∈(π，2π)，则cos等于()A.B．－C.D．－【解析】 π＜α＜2π，∴＜＜π.∴cos＝－＝－＝－.【答案】B3．化简的结果是()A．－cos1B．cos1C.cos1D．－cos1【解析】＝＝cos1.【答案】C4．对于函数f(x)＝2sinxcosx，下列选项中正确的是()A．f(x)在(，)上是递增的B．f(x)的图象关于原点对称C．f(x)的最小正周期为2πD．f(x)的最大值为2【解析】 f(x)＝2sinxcosx＝sin2x，∴f(x)为奇函数，∴f(x)的图象关于原点对称．【答案】B5．(2013·课标全国卷Ⅱ)已知sin2α＝，则cos2＝()A.B.C.D.【解析】 sin2α＝，∴cos2＝＝＝＝.【答案】A6．(2013·江西高考)函数y＝sin2x＋2sin2x的最小正周期T为________．【解析】由于y＝sin2x＋2sin2x＝sin2x＋(1－cos2x)＝sin2x－cos2x＋＝2sin＋，∴T＝＝π.【答案】π考向一[063]辅助角公式及其应用(1)函数f(x)＝sinx＋cos的最大值为()A．2B.C．1D.(2)(2013·浙江高考)函数f(x)＝sinxcosx＋cos2x的最小正周期和振幅分别是()A．π，1B．π，2C．2π，1D．2π，2(3)(2013·湖北高考)将函数y＝cosx＋sinx(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是()A.B.C.D.【思路点拨】(1)先将cos展开，再与“sinx”合成一个角．(2)先把f(x)化成Asin(ωx＋φ)的形式，再求周期和振幅．(3)先将函数解析式化简，再写出平移后的解析式，然后，根据函数为偶函数得到m的表达式，求得m的最小值．【尝试解答】(1)f(x)＝sinx＋cos·cosx－sinsinx＝cosx＋sinx＝sin∴当x＋＝＋2kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值1.(2)f(x)＝sin2x＋cos2x＝sin，所以最小正周期为T＝＝π，振幅A＝1.(3)由于y＝cosx＋sinx＝2cos，向左平移m(m>0)个单位长度后得到函数y＝2cos的图象．由于该图象关于y轴对称，所以m－＝kπ(k∈Z，m>0)，于是m＝kπ＋(k∈Z，m>0)，故当k＝0时，m取得最小值.【答案】(1)C(2)A(3)B规律方法1利用asinx＋bcosx＝sinx＋φ把形如y＝asinx＋bcosx＋k的函数化为一个角的某种函数的一次式，可以求三角函数的周期、单调区间、值域和最值、对称轴等.对点训练(2014·温州模拟)已知函数f(x)＝sinx－cosx，x∈R，若f(x)≥1，则x的取值范围为()A.B.C.D.【解析】f(x)＝sinx－cosx＝2sin≥1，∴sin≥，∴2kπ＋≤x－≤2kπ＋π(k∈Z)，∴2kπ＋≤x≤2kπ＋π，k∈Z.【答案】A考向二[064]三角恒等变换的综合应用(2014·大连模拟)已知函数f(x)＝sin＋2sin2(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求使函数f(x)取得最大值时x的集合．【思路点拨】借助“降幂公式”及“辅助角公式”化f(x)成“Asin(ωx＋φ)＋k”的形式，进而解答本题．【尝试解答】(1)因为f(x)＝sin＋1－cos2＝2＋1＝2sin＋1＝2sin＋1，所以f(x)的最小正周期T＝＝π.(2)当f(x)取得最大值时，sin＝1，此时2x－＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)，所以所求x的集合为.规律方法21.三角恒等变换要坚持结构同化原则，即尽可能地化为同角函数、同名函数、同次函数等，其中切化弦也是同化思想的体现；2.降次是一种三...