椭圆及其标准方程(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.设A,B为两定点,|AB|=6,动点P满足|PA|+|PB|=6,则动点P的轨迹是()A.椭圆B.圆C.线段D.直线【解析】选C.因为|PA|+|PB|=6=|AB|,所以动点P的轨迹是线段.2.设椭圆的标准方程为+=1,若其焦点在x轴上,则k的取值范围是()A.k>3B.35-k>0,所以40且n>0”是“方程mx2+ny2=1表示椭圆”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【解析】选B.当m=n>0时方程mx2+ny2=1表示圆,故m>0且n>0⇒/方程mx2+ny2=1表示椭圆,而方程mx2+ny2=1表示椭圆⇒m>0且n>0.5.若椭圆+=1的焦距为6,则m的值为()A.7B.7或25C.25D.或51【解析】选B.①设a2=16,b2=m,所以c2=16-m,所以16-m=9,所以m=7;②设a2=m,b2=16,则c2=m-16,所以m-16=9,所以m=25.6.设F1,F2是椭圆C:+=1的焦点,在曲线C上满足·=0的点P的个数为()A.0B.2C.3D.4【解析】选B.因为·=0,所以PF1⊥PF2,所以点P即为以线段F1F2为直径的圆与椭圆的交点,且半径为c==2.又因为b=2,所以点P为该椭圆与y轴的两个端点.7.已知P为椭圆C上一点,F1,F2为椭圆的焦点,且|F1F2|=2,若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|,则椭圆C的标准方程为()A.+=1B.+=1或+=1C.+=1D.+=1或+=1【解析】选B.由已知2c=|F1F2|=2,所以c=.因为2a=|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4,所以a=2,所以b2=a2-c2=9.故椭圆C的标准方程是+=1或+=1.8.已知椭圆+y2=1的焦点为F1,F2,点M在该椭圆上,且·=0,则点M到x轴的距离为()2A.B.C.D.【解析】选C.由·=0,得MF1⊥MF2,可设=m,=n,在△F1MF2中,由m2+n2=4c2得(m+n)2-2mn=4c2,根据椭圆的定义有m+n=2a,所以2mn=4a2-4c2,所以mn=2b2,即mn=2,所以=mn=1.设点M到x轴的距离为h,则:×|F1F2|×h=1,又|F1F2|=2,所以h=.二、填空题(每小题5分,共10分)9.已知椭圆的焦点在y轴上,其上任意一点到两焦点的距离和为8,焦距为2,则此椭圆的标准方程为________.【解析】由已知,2a=8,2c=2,所以a=4,c=,所以b2=a2-c2=16-15=1,所以椭圆的标准方程为+x2=1.答案:+x2=110.(2017·衡水高二检测)已知P是椭圆+=1上的一动点,F1,F2是椭圆的左、右焦点,延长F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,那么动点Q的轨迹方程是________.【解析】依题意,|PF1|+|PF2|=2a(a是常数且a>0).又|PQ|=|PF2|,所以|PF1|+|PQ|=2a,即|QF1|=2a.由题意知,a=2,b=,c===1.3所以|QF1|=4,F1(-1,0),所以动点Q的轨迹是以F1为圆心,4为半径的圆,所以动点Q的轨迹方程是(x+1)2+y2=16.答案:(x+1)2+y2=16三、解答题11.(10分)设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点.设椭圆C上一点到两焦点F1,F2的距离和等于4,写出椭圆C的方程和焦点坐标.【解析】由点在椭圆上,得+=1,又2a=4,所以椭圆C的方程为+=1,焦点坐标分别为(-1,0),(1,0).【能力挑战题】设F1,F2为椭圆+=1的两个焦点,点P为椭圆上一点,已知F1,F2,P为一个直角三角形的三个顶点,且|PF1|>|PF2|,求的值.【解析】由已知|PF1|+|PF2|=6,|F1F2|=2,根据直角的位置不同,分为两种情况.(1)若∠PF2F1为直角,则所以所以=.(2)若∠F1PF2为直角,则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2,所以解得|PF1|=4,|PF2|=2,所以=2.4综上,的值为或2.5
