高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.1 不等式（第2课时）课后训练 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学试题VIP专享VIP免费

1.1不等式2.基本不等式练习1．若x，y∈R且满足x＋3y＝2，则3x＋27y＋1的最小值是()A．339B．122C．6D．72．若x，y＞0，且x＋2y＝3，则11xy的最小值是()A．2B.32C．2213D．3223．设a＞0，b＞0.若3是3a与3b的等比中项，则11ab的最小值为()A．8B．4C．1D.144．已知不等式1()()axyxy≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A．2B．4C．6D．85．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站()A．5千米处B．4千米处C．3千米处D．2千米处6．(2010山东高考，理14)若对任意x＞0，231xxx≤a恒成立，则a的取值范围是________．7．函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn＞0，则12mn的最小值为________．8．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________．9．已知a，b，x，y∈R＋，x，y为变量，a，b为常数，且a＋b＝10，abxy＝1，x＋y的最小值为18，求a，b.10．如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2m的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为am，高度为bm，已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比，现有制箱材料60m2，问当a，b各为多少时，沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小？(A，B孔的面积忽略不计)12参考答案1.答案：D3x＋27y＋1＝3x＋33y＋1≥32331xy＝3231xy＝2×3＋1＝7，当且仅当x＝3y时，等号成立．2.答案：C11xy＝211()3xyxy＝12(12)3yxxy≥12(32)3yxxy＝2213，当且仅当xy＝2yx时，等号成立．3．答案：B∵3是3a与3b的等比中项，∴2(3)＝3a·3b，即3＝3a＋b，∴a＋b＝1.此时11ab＝ababab＝2()baab≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝12时，等号成立．4.答案：B1()()axyxy＝1axyayx≥12aa＝2(1)a，当且仅当yx＝a时，等号成立．∵1()()axyxy≥9对任意正实数x，y恒成立，∴需2(1)a≥9.∴a≥4.5.答案：A设仓库到车站的距离为x，由已知得，y1＝20x，y2＝0.8x.费用之和y＝y1＋y2＝200.8xx≥2020.8xx＝8.当且仅当0.8x＝20x，即x＝5时等号成立，故选A.6.答案：1[,)5a≥231xxx＝113xx.而1xx≥2，∴113xx的最大值为15，∴a≥15.7.答案：8函数y＝loga(x＋3)－1恒过定点A(－2，－1)，又∵点A在直线mx＋ny＋1＝0上，∴－2m－n＋1＝0即2m＋n＝1，则12()mn×(2m＋n)＝242mnmnmn＝2＋nm3＋4·mn＋2≥4＋24nmmn＝4＋4＝8.8.答案：[9，＋∞)令ab＝t(t＞0)，则由ab＝a＋b＋3≥23ab，得t2≥2t＋3，即t2－2t－3≥0.解得t≥3或t≤－1(不合题意)．∴ab≥3.∴ab≥9，当且仅当a＝b＝3时取等号．9.解：x＋y＝()()abxyxy＝a＋b＋bxy＋ayx≥a＋b＋2ab＝2()ab，当且仅当bxy＝ayx时取等号．又(x＋y)min＝2()ab＝18，即a＋b＋2ab＝18，①又a＋b＝10，②由①②可得2,8ab或8,2.ab10．分析：题意中的“杂质的质量分数”可按“杂质的含量”理解，设为y.由题意y与ab成反比，又设比例系数为k，则y＝kab.又由于箱体材料多少的限制，a，b之间应有一定的关系式，即2×2b＋2ab＋2a＝60，因此该题的数学模型是：已知ab＋a＋2b＝30，a＞0，b＞0，求a，b为何值时，y＝kab最小．解法一：设流出的水中杂质的质量分数为y，由题意y＝kab，其中k为比例系数(k＞0)．又据题设有2×2b＋2ab＋2a＝60(a＞0，b＞0)．∴b＝302aa(由a＞0，b＞0可得a＜30)．∴y＝kab＝2302kaaa.4令t＝a＋2(t＞0)，则a＝t－2.从而2302aaa＝230(2)(2)ttt＝23464ttt＝6434()tt，∴y＝kab≥64342ktt＝18k.当且仅当t＝64t，即a＋2＝642a时取等号，∴a＝6.由a＝6可得b＝3.综上所述：当a＝6，b＝3时，经沉淀后流出的水中杂质的质量分数最小．解法二：设流出的水中杂质的质量分数为y，依题意y＝kab，其中k为比例系数，k＞0，要求y的最小值，必须求出ab的最大值．依题设2×2b＋2ab＋2a＝60，即ab＋a＋2b＝30(a＞0，b＞0)．∵a＋2b≥22ab(当且仅当a＝2b时取等号)，∴ab＋22ab≤30，可解得0＜ab≤18.由a＝2b及ab＋a＋2b＝30可得a＝6，b＝3，即a＝6，b＝3时，ab取最大值，从而y值最小，即a＝6，b＝3时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．5