3．2一般形式的柯西不等式1．利用柯西不等式证明不等式．2．能够利用柯西不等式求一些特定函数的最值．3．认识柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义．1．柯西不等式向量形式：|α||β|____________|α·β|.答案：≥2．定理(柯西不等式的推广形式)：设n为大于1的自然数，ai，bi(i＝1，2，…，n)为任意实数，则：∑n,i＝1a∑n,i＝1b________(∑n,i＝1aibi)2，其中等号当且仅当＝＝…＝时成立(当ai＝0时，约定bi＝0，i＝1，2，…，n)．答案：≥思考1设x＋y＋z＝19，则函数u＝＋＋的最小值是()A．442B.C．38D．76解析：u2＝x2＋y2＋z2＋4＋9＋6＋2＋2＋2≥x2＋y2＋z2＋22＋32＋42＋2(xy＋2×3)＋2(xz＋2×4)＋2(yz＋3×4)＝(x＋y＋z)2＋(2＋3＋4)2＝192＋92＝442.∴u≥.当且仅当＝，＝＝，＝时，等号成立．∴umin＝.答案：B思考2求证：a2＋b2＋c2＋d2≥ab＋bc＋cd＋da.证明：取两组数a，b，c，d；b，c，d，a，由柯西不等式有(a2＋b2＋c2＋d2)(b2＋c2＋d2＋a2)≥(ab＋bc＋cd＋da)2，即(a2＋b2＋c2＋d2)2≥(ab＋bc＋cd＋da)2.∴a2＋b2＋c2＋d2≥|ab＋bc＋cd＋da|≥ab＋bc＋cd＋da.∴原不等式成立．11．已知a＋a＋…＋a＝1，x＋x＋…＋x＝1，则a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是()A．1B．2C．3D．4答案:A2．已知x，y，z为正数，x＋y＋z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值为()A.B.C.D．不存在答案:B3．同时满足2x＋3y＋z＝13…(1)，4x2＋9y2＋z2－2x＋15y＋3z＝82…(2)的实数x、y、z的值分别为______，______，______．解析：可令x1＝2x，x2＝3y＋3，x3＝z＋2，则x1＋x2＋x3＝18且x＋x＋x＝108.由此及柯西不等式得182＝(x1＋x2＋x3)2≤(x＋x＋x)(12＋12＋12)＝108×3，上式等号成立的充要条件＝＝⇒x1＝x2＝x3＝6⇒x＝3，y＝1，z＝4.答案：3144．已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求＋＋的最大值．解析：由柯西不等式得：(＋＋)2＝(1×＋1×＋1×)2≤(12＋12＋12)(4a＋1＋4b＋1＋4c＋1)＝3×[4(a＋b＋c)＋3]＝21.当且仅当a＝b＝c＝时取等号．∴＋＋的最大值为.5．a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋≥.证明： (12＋12＋12)≥＝，而(a＋b＋c)≥(1＋1＋1)2＝9，即＋＋≥9，∴≥100，∴＋＋≥.6．设a，b，c为正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.证明：由柯西不等式得[()2＋()2＋()2]≥，于是(a＋b＋c)≥(a＋b＋c)2，即＋＋≥a＋b＋c.7．设a，b，c为正数，且不全相等，求证：＋＋>.证明：构造两组数，，；，，，则由柯西不等式得(a＋b＋b＋c＋c＋a)≥(1＋1＋1)2，即2(a＋b＋c)≥9，2于是＋＋≥.①由柯西不等式知，①式中等号成立⇔＝＝⇔a＋b＝b＋c＝c＋a⇔a＝b＝c.因题设a，b，c不全相等，故①式中等号不成立．于是＋＋>.8．已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为______．解析：使用柯西不等式求解． a＋2b＋3c＝6，∴1×a＋1×2b＋1×3c＝6.∴(a2＋4b2＋9c2)(12＋12＋12)≥(a＋2b＋3c)2，即a2＋4b2＋9c2≥12.当且仅当＝＝，即a＝2，b＝1，c＝时取等号．答案：129．设x，y，z∈R，且满足；x2＋y2＋z2＝1，x＋2y＋3z＝，则x＋y＋z＝________．解析：由柯西不等式可得(x2＋y2＋z2)(12＋22＋32)≥(x＋2y＋3z)2，即(x＋2y＋3z)2≤14，因此x＋2y＋3z≤.因为x＋2y＋3z＝，所以x＝＝，解得x＝，y＝，z＝，于是x＋y＋z＝.答案：10．设a，b，c，x，y，z是正数，且a2＋b2＋c2＝10，x2＋y2＋z2＝40，ax＋by＋cz＝20，则＝()A.B.C.D.解析：由于(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)≥(ax＋by＋cz)2等号成立当且仅当＝＝＝t，则a＝tx，b＝ty，c＝tz，t2(x2＋y2＋z2)＝10.由题知t＝，又＝＝＝，所以＝t＝.答案：C11．已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1，1]．(1)求m的值；(2)若a，b，c∈R＋，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.解析：(1)因为f(x＋2)＝m－|x|，f(x＋2)≥0等价于|x|≤m.由|x|≤m有解，得m≥0且其解集为{x|－m≤x≤m}．又f(x＋2)≥0的解集为[－1，1]，故m＝1.(2)由(1)知：＋＋＝1，又a，b，c∈R＋，由柯西不等式得：a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)≥＝9，即a＋2b＋3c≥9.31．证明一般形式的柯西不等式是通过构造了二次函数，利用配方法，通过讨论相应的判别式来证明不等式，...
