【导与练】（新课标）2016届高三数学一轮复习第7篇第6节空间直角坐标系、空间向量及其运算课时训练理【选题明细表】知识点、方法题号空间直角坐标系3、4空间向量的计算1、2、5、7、10、13、15共线、共面向量定理的应用6、8综合问题11、12、14基础过关一、选择题1.(2014青岛一模)已知a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),则下列结论正确的是(C)(A)a∥c,b∥c(B)a∥b,a⊥c(C)a∥c,a⊥b(D)以上都不对解析:∵c=2a,∴a∥c,又a·b=(-2,-3,1)·(2,0,4)=-4+0+4=0,∴a⊥b.故选C.2.(2014银川质检)已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a∥b,则λ与μ的值可以是(A)(A)2,(B)-,(C)-3,2(D)2,2解析:由题意知,解得或3.(2014山东潍坊月考)如图所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E为PB的中点,cos<,>=,若以DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标为(A)(A)(1,1,1)(B)(1,1,)(C)(1,1,)(D)(1,1,2)解析:设P(0,0,z),依题意知A(2,0,0),B(2,2,0),则E(1,1,),于是=(0,0,z),=(-1,1,),cos<,>===.解得z=±2,由题图知z=2,故E(1,1,1).4.(2015福州质检)正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上且=,N为B1B的中点,则||为(A)(A)a(B)a(C)a(D)a解析:以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则A(a,0,0),C1(0,a,a),N(a,a,).设M(x,y,z).∵点M在AC1上且=,∴(x-a,y,z)=(-x,a-y,a-z)∴x=a,y=,z=.∴M(,,),∴||==a.故选A.5.(2014北京东城一摸)如图所示,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则||等于(C)(A)6(B)6(C)12(D)144解析:因为=++,所以=+++2·=36+36+36+2×36cos60°=144.所以||=12.6.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若a、b、c三向量共面,则实数λ等于(D)(A)(B)(C)(D)解析:由题意存在实数x,y使得c=xa+yb,即(7,5,λ)=x(2,-1,3)+y(-1,4,-2),由此得方程组解得x=,y=,所以λ=-=.二、填空题7.(2014广东一模)若向量a=(1,λ,2),b=(2,-1,2)且a与b的夹角的余弦值为,则λ=.解析:由已知得==,∴8=3(6-λ),解得λ=-2或λ=.答案:-2或8.已知A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,-5),点P(x,-1,3)在平面ABC内,则x=.解析:根据共面向量定理设=λ+μ,即(x-4,-2,0)=λ(-2,2,-2)+μ(-1,6,-8),由此得解得λ=-4,μ=1,所以x=4+8-1=11.答案:119.(2014河南新乡一模)在空间直角坐标系中,以点A(4,1,9)、B(10,-1,6)、C(x,4,3)为顶点的△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形,则实数x的值为.解析:=(6,-2,-3),=(x-4,3,-6),由题意知·=0,||=||,6(x-4)-6+18=0.可解得x=2.答案:2三、解答题10.已知各个面都是平行四边形的四棱柱ABCDA′B′C′D′.设M是底面ABCD的中心,N是侧面BCC′B′的对角线BC′上的点,且BN∶NC′=3∶1,设=α+β+γ,试求α,β,γ之值.解:=+=+=(+)+(+)=(-+)+(+)=++,所以α=,β=,γ=.11.直三棱柱ABCA′B′C′中,AC=BC=AA′,∠ACB=90°,D、E分别为AB、BB′的中点.(1)求证:CE⊥A′D;(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值.解:令=a,=b,=c,根据题意,|a|=|b|=|c|,且a·b=b·c=c·a=0,(1)∵=b+c,=-c+b-a.∴·=-c2+b2=0.∴⊥,即CE⊥A′D.(2)∵=-a+c,||=|a|,||=|a|.·=(-a+c)·(b+c)=c2=|a|2,∴cos<,>==.即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.能力提升12.(2014高考北京卷)在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,).若S1,S2,S3分别为三棱锥DABC在xOy,yOz,zOx坐标平面上的正投影图形的面积,则(D)(A)S1=S2=S3(B)S2=S1且S2≠S3(C)S3=S1且S3≠S2(D)S3=S2且S3≠S1解析:根据题目条件,在空间直角坐标系Oxyz中作出该三棱锥DABC,显然S1=×2×2=2,S2=S3=×2×=.故选D.13.(2014辽宁沈阳模拟)在一直角坐标系中已知A(-1,6),B(3,-8),现沿x轴将坐标平面折成60°的二面角,则折叠后A、B两点间的距离为.解析:如图为折叠后的图形,其中作AC⊥CD,BD⊥CD,则AC=6,BD=8,CD=4,两异面直线AC、BD所成的角为60°,故由=++,得||2=|++|2=68,∴||=2.答案:214.已知如图所示,平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且∠C1CD=∠C1CB=∠BCD=60°.(1)求证:C1C⊥BD;(2)当的值是多少时,能使A1C⊥平面C1BD?请给出证明.(1)证明:取=a,=b,=c,由已知|a|=|b|,且
===60°,=-=a-b,·=c·(a-b)=c·a-c·b=|c||a|-|c||b|=0,∴⊥,即C1C⊥BD.(2)解:若A1C⊥平面C1BD,则A1C⊥C1D,又=a+b+c,=a-c.∴·=0,即(a+b+c)·(a-c)=0.整理得3a2-|a||c|-2c2=0.(3|a|+2|c|)(|a|-|c|)=0,∴|a|-|c|=0,即|a|=|c|.即当==1时,A1C⊥平面C1BD.探究创新15.(2014高考广东卷)已知向量a=(1,0,-1),则下列向量中与a成60°夹角的是(B)(A)(-1,1,0)(B)(1,-1,0)(C)(0,-1,1)(D)(-1,0,1)解析:设b=(1,-1,0),则cos===,即b与a的夹角为60°.故选B.
