1.2.1圆的切线课时过关·能力提升1.下列说法:①与圆有公共点的直线是圆的切线;②垂直于圆的半径的直线是圆的切线;③与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线;④过直径的端点,且垂直于此直径的直线是圆的切线.其中正确的是()A.①②B.②③C.③④D.①④解析:与圆有公共点的直线,可能是切线,也可能与圆相交,则①不正确;②不符合切线判定定理的条件,缺少过半径外端的条件,则②不正确;很明显③④正确.答案:C2.如图,AB与☉O切于点B,AO=6cm,AB=4cm,则☉O的半径r等于()A.4√5cmB.2√5cmC.2√13cmD.√13cm解析:如图,连接OB,则OB=r,且OB⊥AB,故OB=r=√OA2-AB2=√36-16=2√5(cm).答案:B3.如图,A,B是☉O上两点,AC为☉O的切线,∠OBA=75°,☉O的半径为1,则OC的长等于()A.√32B.√22C.2√33D.√21解析:∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA=75°.∴∠AOB=180°-2∠OBA=30°.∵AC为☉O的切线,∴OA⊥AC.又OA=1,∴在Rt△OAC中,OC=OAcos30°=1√32=2√33.答案:C4.如图,PB与☉O相切于点B,OP交☉O于点A,BC⊥OP于点C,OA=3,OP=4,则AC等于()A.34B.43C.35D.不确定解析:如图,连接OB,则OB⊥PB,OB=OA=3.又BC⊥OP,∴在Rt△OBP中,有OB2=OC·OP.∴OC=OB2OP=94.∴AC=OA-OC=3-94=34.答案:A★5.如图,AC与☉O相切于点D,AO的延长线交☉O于点B,且BC与☉O相切于点B,AD=DC,则AOOB等于()A.2B.1C.12D.432解析:如图,连接OD,OC.∵AC,BC是☉O的切线,∴OD⊥AC,OB⊥BC.又AD=DC,∴△OAC是等腰三角形.∴OA=OC.∴∠A=∠OCD.又CB,CD与☉O相切,∴∠OCD=∠OCB.∴∠BCA=2∠A.∴∠A+∠BCA=3∠A=90°.∴∠A=30°.∴AOOB=AOOD=1sin30°=2.答案:A6.如图,在半径分别为5cm和3cm的两个同心圆中,大圆的弦AB与小圆相切于点C,则弦AB的长为cm.解析:如图,连接OA,OC,OB,则OC⊥AC.∵OA=OB,∴△OAB是等腰三角形.∴AC=CB.由题意知,OA=5cm,OC=3cm,∴AC=√OA2-OC2=4(cm).∴AB=2AC=8(cm).答案:87.在Rt△ABC中,AC⊥CB,AB=12,AC=6,以C为圆心,作与AB相切的圆C,则☉C的半径r=.3解析:如图,设切点为D,连接CD,则CD⊥AB,CD=r.∵AC⊥CB,∴CD2=AD·BD.又AB=12,AC=6,AC2=AD·AB,∴AD=AC2AB=6212=3.∴BD=AB-AD=12-3=9.∴CD2=3×9=27.∴CD=3√3.答案:3√38.如图,已知PA与圆O相切于点A,半径OC⊥OP,AC交PO于点B,OC=1,OP=2,则PB=.解析:如图,连接OA,则OA⊥PA.在△OAP中,∠PAO=90°,OP=2,OA=1,则PA=√3,∠P=30°,∠POA=60°.故∠AOC=∠AOP+∠COP=60°+90°=150°.又OA=OC,则∠BAO=15°.所以∠PBA=∠BAO+∠AOP=15°+60°=75°.在△PAB中,∠PAB=180°-∠P-∠ABP=180°-30°-75°=75°.所以∠PBA=∠PAB.所以PA=PB.故PB=√3.答案:√39.如图,D是☉O的直径AB的延长线上一点,PD是☉O的切线,P是切点,∠D=30°.求证:PA=PD.4分析欲证PA=PD,只要证明∠A=∠D=30°即可.证明如图,连接OP,∵PD是☉O的切线,P为切点,∴PO⊥PD.∵∠D=30°,∴∠POD=60°.又OA=OP,∴∠A=∠APO.∴∠A=30°.∴∠A=∠D.∴PA=PD.★10.某海域直径为30海里的暗礁区中心A处有一哨所,值班人员发现有一轮船从哨所正西方向45海里的B处向哨所驶来,哨所及时向轮船发出危险信号,但轮船没有收到信号,又继续前进了15海里到达C处才收到此哨所第二次发出的紧急危险信号.(1)若轮船收到第一次危险信号后,为避免触礁,航向改变角度至少应为东偏北多少度?(精确到度)(2)当轮船收到第二次危险信号时,为避免触礁,轮船航向改变的角度至少应为东偏南多少度?(精确到度)分析轮船是否有触礁危险,在于轮船航行所在的直线与以点A为圆心、以15海里为半径的圆的位置关系,此题应从直线与圆相切这一特殊位置关系入手.解:(1)如图,过点B作☉A的切线BD,D为切点,连接DA,则∠ADB=90°.在Rt△ABD中,sinα=ADAB=1545=13,则α≈19.47°.故为避免触礁,轮船航向改变角度至少应为东偏北20°.(2)过点C作☉A的切线CE,E为切点,连接AE,则∠AEC=90°.在Rt△ACE中,AC=45-15=30(海里),sin∠ACE=AEAC=1530=12,则∠ACE=30°.故为避免触礁,轮船航向改变的角度至少应为东偏南30°.56
