2.1.1椭圆及其标准方程[学生用书P97(单独成册)])[A基础达标]1．若椭圆＋＝1上一点P到焦点F1的距离为3，则点P到另一焦点F2的距离为()A．6B．7C．8D．9解析：选B.根据椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×5＝10，因为|PF1|＝3，所以|PF2|＝7.2．若椭圆＋＝1的焦距为2，则m的值为()A．5B．3C．5或3D．8解析：选C.由题意得c＝1，a2＝b2＋c2.当m>4时，m＝4＋1＝5；当m<4时，4＝m＋1，所以m＝3.3．如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是()A．a>3B．a<－2C．a>3或a<－2D．a>3或－6
a＋6>0得所以所以a>3或－6b>0)，且可知左焦点为F′(－2，0)．从而有解得又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，故椭圆C的标准方程为＋＝1.法二：依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，则解得b2＝12或b2＝－3(舍去)，从而a2＝16.所以椭圆C的标准方程为＋＝1.答案：＋＝18．椭圆的两焦点为F1(－4，0)，F2(4，0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆的标准方程为____________．解析：如图，当P在y轴上时△PF1F2的面积最大，所以×8b＝12，所以b＝3.又因为c＝4，所以a2＝b2＋c2＝25.所以椭圆的标准方程为＋＝1.答案：＋＝19．求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为F1(－4，0)，F2(4，0)，并且椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于10；(2)焦点分别为(0，－2)，(0，2)，经过点(4，3)．解：(1)因为椭圆的焦点在x轴上，且c＝4，2a＝10，所以a＝5，b＝＝＝3，所以椭圆的标准方程为＋＝1.(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．法一：由椭圆的定义知2a＝＋＝12，解得a＝6.又c＝2，所以b＝＝4.所以椭圆的标准方程为＋＝1.法二：因为所求椭圆过点(4，3)，所以＋＝1.又c2＝a2－b2＝4，可解得a2＝36，b2＝32，所以椭圆的标准方程为＋＝1.10．已知B，C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长等于18，求这个三角形的顶点A的轨迹方程．解：以过B，C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，如图所示．由|BC|＝8，可知点B(－4，0)，C(4，0)．由|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，|BC|＝8，得|AB|＋|AC|＝10.因此，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a＝10，c＝4，但点A不在x轴上．由a＝5，c＝4，得b2＝a2－c2＝25－16＝9.所以点A的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．[B能力提升]211．已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为()A．5B．7C．13D．15解析：选B.由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.12．(2019·汕头高二检测)设F1，F2为椭圆＋y2＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为()A.B．C.D．解析：选C.因为线段PF1的中点在y轴上，所以PF2⊥x轴，|PF2|＝＝，|PF1|＝2a－|PF2|＝6－＝，所以＝.13．如图所示，已知椭圆的两焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，P为椭圆...
