第三讲检测(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1圆在平面上的平行射影可能是()A.圆B.椭圆C.线段D.以上都有可能答案D2下列不是由正射影得到的是()A.太阳光下人的影子B.正视图C.侧视图D.俯视图答案A3一平面与圆柱母线的夹角为75°,则该平面与圆柱面交线是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线解析该交线是圆柱的斜截口,故是椭圆.答案B4下列叙述中,不是圆锥曲线的是()A.平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹B.平面上到两个定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹C.平面上到定点和定直线的距离相等的点的轨迹D.到角的两边距离相等的点的轨迹解析选项A,B,C分别描述的是椭圆、双曲线和抛物线,选项D是角平分线.答案D5两条平行直线在一个平面内的平行射影不可能是()A.两个点B.两条平行直线C.两条相交直线D.一条直线1解析设两条平行直线所在的平面为α,当投影线平行于α时,投影是两个点或一条直线,否则投影是两条平行直线,不可能是两条相交直线.答案C6已知平面β与一圆柱斜截口(椭圆)的离心率为√22,则平面β与圆柱母线的夹角是()A.30°B.60°C.45°D.90°解析设平面β与母线夹角为φ,则cosφ=√22,故φ=45°.答案C7若双曲线的两条准线与实轴的交点是两个顶点间线段的四等分点,则其离心率为()A.√3B.2C.4D.2√3解析设双曲线的实轴长为2a,虚轴长为2b,焦距为2c.由题意知4×a2c=2a,故e=ca=2.答案B8已知圆柱面的半径r=6,截割平面β与母线所成的角为60°,则此截割面的两个Dandelin球球心距离为()A.6B.12C.4√3D.8√3解析由于两Dandelin球球心距离等于截线椭圆的长轴长,故两焦球球心距离为2rsin60°=8√3.答案D9已知平面与圆锥轴线夹角为45°,圆锥母线与轴线夹角为60°,平面与圆锥面交线的轴长为2,则所得圆锥曲线的焦距为()A.√2B.2√2C.4√2D.√22解析 e=cosβcosα=ca,∴cos45°cos60°=c1.∴c=√2,2c=2√2.答案B10若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的最大面积为1,则长轴的最小值为()2A.√2B.2C.√5D.2√2解析作出如图所示的图形,在椭圆上取一点P(x,y),设椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c,则S△PF1F2=12·2c·|y|=c|y|.当P点为短轴顶点时,|y|最大为b.所以Smax=bc.又bc=1,所以a2=b2+c2≥2bc=2,即2a≥2√2.答案D二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11在圆锥内部嵌入Dandelin双球,一个位于平面π的上方,一个位于平面π的下方,并且与平面π和圆锥面均相切,则两个切点是所得圆锥曲线的.答案两个焦点12用平面截球面和圆柱面所得到的截线形状分别是、.解析注意平面截圆柱面所得的截线的不同情况.答案圆圆或椭圆13一圆直径为5,该圆与平行射影方向垂直,其射影长轴长为10,则平行射影方向与射影面的夹角是.解析如图,BC为射影方向,设α为射影方向与射影面的夹角,利用sinα=510=12,解得α=30°,即夹角是30°.答案30°314已知一个平面垂直于圆柱的轴,截圆柱所得半径为2的圆,另一平面与圆柱的轴成30°角,则截线的离心率为.解析由题意可知,椭圆的短轴长为2b=2×2,所以短轴长为4,设长轴长为2a,则有2b2a=sin30°=12,所以2a=4b=8,c=√a2-b2=2√3,所以e=ca=√32.答案√3215已知双曲线的两个焦点分别为F1,F2,在右支上过F1的弦AB的长为5,若2a=8,那么△ABF2的周长是.解析由双曲线的结构特点,知AF2-AF1=8,BF2-BF1=8,把两式相加,得AF2+BF2-AB=16,∴AF2+BF2=16+AB=21.∴△ABF2的周长=AF2+BF2+AB=21+5=26.答案26三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)已知椭圆有一轴长为2,离心率为12,求椭圆的另一轴长.解设另一轴长为m(m>0),椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c,若m<2,则(2a)2=4,(2b)2=m2,(2c)2=4-m2,e2=c2a2=4-m24=14,∴m=√3.若m>2,同理,e2=m2-4m2=14,解得m=4√33.综上所述,椭圆的另一轴长为√3或4√33.17(8分)如图,已知∠PF1F2=30°,S△PF1F2=√32,OP⊥F1F2,求☉O1的半径.4解设椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c,根据题意得{b=asin30°,bc=√32,a2=b2+c2,解得{a=√2,b=√22,c=√62,即OP=√22,∴☉O1的半径为√22.18(9分)已...
