1.2.1绝对值三角不等式自我小测1．设集合A＝{x||x－a|＜1，x∈R}，B＝{x|1＜x＜5，x∈R}．若A∩B＝，则实数a的取值范围是()．A．{a|0≤a≤6}B．{a|a≤2，或a≥4}C．{a|a≤0，或a≥6}D．{a|2≤a≤4}2．已知|a|≠|b|，||||||abmab－＝－，||||||abnab＋＝＋，则m，n之间的大小关系是()．A．m＞nB．m＜nC．m＝nD．m≤n3．若对任意实数x，不等式|x＋1|－|x－2|＞a恒成立，则a的取值范围是()．A．(－∞，3)B．(－∞，3]C．(－∞，－3)D．(－∞，－3]4．已知p、q、x∈R，pq≥0，x≠0，则qpxx＋______2pq.5．若不等式|x－4|－|x－3|≤a对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．6．若x＜5，n∈N＋，则下列不等式：①lg<5lg11nnxnn＋＋；②||lg<5lg11nnxnn＋＋；③lg<5lg11nnxnn＋＋；④||lg<5lg11nnxnn＋＋，其中能够成立的有______．7．设|a|≤1，函数f(x)＝ax2＋x－a(－1≤x≤1)，证明|f(x)|≤54.8．已知f(x)＝x2－2x＋7，且|x－m|＜3，求证：|f(x)－f(m)|＜6|m|＋15.9.已知a，b，c是实数，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，g(x)＝ax＋b，当－1≤x≤1时，|f(x)|≤1．1(1)求证：|c|≤1；(2)求证：当－1≤x≤1时，|g(x)|≤2.2参考答案1.答案：C解析：由集合A得－1＜x－a＜1，即a－1＜x＜a＋1，显然集合A≠，若A∩B＝，由图可知a＋1≤1或a－1≥5，故a≤0或a≥6.2.答案：D解析：由绝对值不等式的性质，知|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.∴||||||||1||||abababab－＋－＋.3.答案：C解析：恒成立问题，往往转化为求最值问题，本题中a＜|x＋1|－|x－2|对任意实数恒成立，即a＜[|x＋1|－|x－2|]min，也就转化为求函数y＝|x＋1|－|x－2|的最小值问题．∵||x＋1|－|x－2||≤|(x＋1)－(x－2)|＝3，∴－3≤|x＋1|－|x－2|≤3.∴[|x＋1|－|x－2|]min＝－3.∴a＜－3.4.答案：≥解析：当p，q至少有一个为0时，2qpxpqx＋.当pq＞0时，p，q同号，则px与qx同号，∴||2qqpxpxpqxx＋＝＋.故2qpxpqx＋.5.答案：[1，＋∞)解析：设f(x)＝|x－4|－|x－3|，则f(x)≤a对一切x∈R恒成立的充要条件是a≥f(x)的最大值．3∵|x－4|－|x－3|≤|(x－4)－(x－3)|＝1．即f(x)max＝1，∴a≥1．6.答案：④解析：∵0<<11nn＋，∴lg<01nn＋，由x＜5并不能确定|x|与5的关系，∴可以否定①②③，而||lg<01nxn＋，④成立．7.证明：|f(x)|＝|a(x2－1)＋x|≤|a(x2－1)|＋|x|≤|x2－1|＋|x|＝1－x2＋|x|＝2155||244x－＋，即|f(x)|≤54.8.证明：|f(x)－f(m)|＝|(x－m)(x＋m－2)|＝|x－m||x＋m－2|＜3|x＋m－2|≤3(|x|＋|m|＋2)．又|x－m|＜3，且|x|－|m|≤|x－m|，∴|x|＜3＋|m|.∴3(|x|＋|m|＋2)＜3(3＋|m|＋|m|＋2)＝6|m|＋15.∴|f(x)－f(m)|＜6|m|＋15.9.证明：(1)∵－1≤x≤1时，|f(x)|≤1，∴|f(0)|≤1，即|c|≤1．(2)当a＞0时，g(x)＝ax＋b在[－1,1]上是增函数，∴g(－1)≤g(x)≤g(1)．∵当－1≤x≤1时，|f(x)|≤1，且|c|≤1，∴g(1)＝a＋b＝f(1)－c≤|f(1)|＋|c|≤2，g(－1)＝－a＋b＝－f(－1)＋c≥－(|f(－1)|＋|c|)≥－2，∴|g(x)|≤2.当a＜0时，g(x)＝ax＋b在[－1,1]上是减函数，∴g(－1)≥g(x)≥g(1)．∵－1≤x≤1时，|f(x)|≤1，且|c|≤1，∴g(－1)＝－a＋b＝－f(－1)＋c≤|f(－1)|＋|c|≤2.g(1)＝a＋b＝f(1)－c≥－(|f(1)|＋|c|)≥－2.∴|g(x)|≤2.当a＝0时，g(x)＝b，f(x)＝bx＋c，且－1≤x≤1，∴|g(x)|＝|f(1)－c|≤|f(1)|＋|c|≤2.4综上可知：|g(x)|≤2.5
