3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示3.1.5空间向量运算的坐标表示基础练习1．已知向量OA在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则向量OA在基底{i，j，k}下的坐标是()A．(12,14,10)B．(10,12,14)C．(14,12,10)D．(4,3,2)【答案】A【解析】OA＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k.2．在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的是()A．向量AB的坐标与点B的坐标相同B．向量AB的坐标与点A的坐标相同C．向量AB的坐标与向量OB的坐标相同D．向量AB的坐标与向量OB－OA的坐标相同【答案】D【解析】因为点A不一定为坐标原点，所以选项A不正确；同理，选项B，C都不正确；由于AB＝OB－OA，故D正确．3．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值为()A．－2B．－C．1D．【答案】D【解析】∵ka＋b＝k(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)，2a－b＝2(1,1,0)－(－1,0,2)＝(3,2，－2)，又两向量互相垂直，∴3(k－1)＋2k－2×2＝0.解得k＝.4．已知A(4,1,3)，B(2，－5,1)，点C满足AC＝AB，则C点的坐标为()A．B．C．D．【答案】C【解析】设C(x，y，z)，则(x－4，y－1，z－3)＝(－2，－6，－2)，∴∴故选C．5．已知向量a＝(0,2,1)，b＝(－1,1，－2)，则a与b的夹角的大小为________．【答案】【解析】∵向量a＝(0,2,1)，b＝(－1,1，－2)，∴a·b＝0×(－1)＋2×1＋1×(－2)＝0.∴a⊥b.∴a与b的夹角为.6．与向量a＝(2，－1,2)共线且满足方程a·x＝－18的向量x的坐标是________．【答案】(－4,2，－4)【解析】∵x与a共线，∴x＝ka.又a·x＝－18，∴ka2＝－18，解得k＝－2.∴x＝(－4,2，－4)．7．已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝AB，b＝AC.(1)求a与b的夹角的余弦值；(2)设|c|＝3且c∥BC，求c.解：(1)∵a＝AB＝(1,1,0)，b＝AC＝(－1,0,2)，∴cos〈a，b〉＝＝＝－.1∴a与b的夹角的余弦值为－.(2)由c∥BC，BC＝(－2，－1,2)，可设c＝(－2λ，－λ，2λ)，∴|c|＝3|λ|.又|c|＝3，∴3|λ|＝3.∴λ＝±1.∴c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)．8．设a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求实数k的值；(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求实数k的值．解：(1)ka＋b＝(k－2,5k＋3，－k＋5)，a－3b＝(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5)＝(7，－4，－16)．∵(ka＋b)∥(a－3b)，∴＝＝.解得k＝－.(2)∵(ka＋b)⊥(a－3b)，∴7(k－2)－4(5k＋3)－16(－k＋5)＝0.解得k＝.能力提升9．已知A(1,1,1)，B(2,2,2)，C(3,2,4)，则△ABC的面积为()A．B．2C．D．【答案】D【解析】AB＝(1,1,1)，|AB|＝，AC＝(2,1,3)，|AC|＝，cosA＝，sinA＝，S＝|AB||AC|·sinA＝.10．已知AB＝(1,5，－2)，BC＝(3,1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y，－3)且BP⊥平面ABC，则BP等于()A．B．C．D．【答案】D【解析】∵AB⊥BC，∴AB·BC＝0，即1×3＋5×1＋(－2)z＝0，解得z＝4.∵BP⊥平面ABC，∴BP⊥AB，BP⊥BC，即1×(x－1)＋5y＋(－2)×(－3)＝0，3(x－1)＋y＋(－3)×4＝0.解得x＝，y＝－.∴BP＝.11．若向量a＝(x,2,2)，b＝(2，－3,5)的夹角为钝角，则实数x的取值范围是________．【答案】(－∞，－2)【解析】a·b＝2x－2×3＋2×5＝2x＋4.设a，b的夹角为θ.∵θ为钝角，∴cosθ＝<0.又|a|>0，|b|>0，∴a·b<0，即2x＋4<0.∴x<－2.又a，b不会反向，∴实数x的取值范围是(－∞，－2)．12．如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，P为正方形ABCD的中心，以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系，求向量PA1，AM的坐标及异面直线PA1与AM所成的角．2解：∵正方体棱长为1，∴P，A1(1,0,1)，A(1,0,0)，M.∴PA1＝(1,0,1)－＝，AM＝－(1,0,0)＝.∴PA1·AM＝－＋0＋＝0.∴PA1⊥AM，即异面直线PA1与AM所成的角为90°.3
